Vẽ hình từng bài 1 với

Bài 7: a) Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{COM}$ (cùng bù với $\widehat{MAC})$ Mà $\widehat{CAM}=\widehat{COM}$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) Nên $\widehat{COM}=\widehat{COM}$ Do đó tứ giác MACO nội tiếp. Tương tự ta cũng chứng minh được tứ giác MDBO nội tiếp. b) Ta có $\widehat{ACM}=\widehat{AOM}$ (cùng bù với $\widehat{AMC})$ $\widehat{BDM}=\widehat{BOM}$ (cùng bù với $\widehat{BMO})$ Mà $\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^{\circ}$ Nên $\widehat{ACM}+\widehat{BDM}=180^{\circ}$ Suy ra $\widehat{ACM}=\widehat{BDM}$ Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{DBM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{ACM}=\widehat{BDM}$ (chứng minh trên) Nên tam giác ACM đồng dạng với tam giác DBM (g-g) Suy ra $\frac{CM}{BM}=\frac{AM}{DM}$ Mà $MA<MB$ nên $CM<DM$ Từ đó suy ra $CM=DM$ Vậy M là trung điểm của CD. Bài 8: a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$ nên tứ giác BFEC nội tiếp. b) Ta có $\widehat{MNE}=\widehat{MCE}=\widehat{BCF}=\widehat{BAF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF) $\widehat{BAF}+\widehat{AFE}=90^{\circ}$ (góc ngoài tam giác BEF) $\widehat{MNE}+\widehat{AFE}=90^{\circ}$ nên $\widehat{MNF}+\widehat{AFE}=180^{\circ}$ suy ra MN // EF c) Ta có $\widehat{BAF}=\widehat{MCE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF) $\widehat{MCE}=\widehat{MNE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME) $\widehat{BAF}=\widehat{MNE}$ $\widehat{MNE}+\widehat{AFE}=90^{\circ}$ nên $\widehat{BAF}+\widehat{AFE}=90^{\circ}$ Tứ giác AFHE nội tiếp (giao điểm của 2 đường cao thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác) $\widehat{BAF}+\widehat{AHE}=180^{\circ}$ nên $\widehat{AHE}=90^{\circ}$ OA vuông góc với EF (tia phân giác của góc BAC vuông góc với dây cung EF) Bài 9: a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BF\perp AC, CE\perp AB$ $\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$. $\Rightarrow AH\perp BC$ tại D. b) Ta có $\widehat{BDF}=\widehat{BHF}=90^{\circ}$ (H là trực tâm của $\Delta ABC)$ $\Rightarrow$ Tứ giác BDHF nội tiếp (cùng chắn cung BF). c) Ta có $\widehat{KBD}=\widehat{KFD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK) Mà $\widehat{KFD}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ với $\widehat{AFD})$ $\Rightarrow \widehat{KBD}=\widehat{CAH}$ $\Rightarrow EK//AH$ (hai góc đồng vị bằng nhau).