Đa thức là gì ??

Kim NgânĐối với chủ đề cao cấp hơn, xem vành đa thức.

Trong toán học, đa thức là biểu thức bao gồm các biến và các hệ số, và chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, và lũy thừa với số mũ tự nhiên của các biến. Một ví dụ về đa thức trong biến x là x² − 4x + 3. Ví dụ về đa thức có ba biến là x² + 3xyz² − yz + 1. Các phần tử trong đa thức được gọi là hạng tử. Trong hai ví dụ trước, x² đều là hạng tử của đa thức.

Đa thức xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của khoa học và toán học. Ví dụ chẳng hạn, chúng được dùng để lập các phương trình đa thức cho phép mã hoá rất nhiều bài toán mới, từ những bài toán từ sơ cấp cho đến các bài toán phức tạp trong khoa học; Các đa thức còn được dùng để định nghĩa hàm đa thức xuất hiện trong nhiều bối cảnh trong khoa học, từ hoá học và vật lý cơ bản cho đến kinh tế học và khoa học xã hội. Trong toán học cao cấp, các đa thức được dùng để xây vành đa thức và đa tạp đại số, là các khái niệm trung tâm trong đại số hiện đại và hình học đại số.

Ký hiệu và thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị của đa thức bậc ba

Đa thức P trong biến x thường được ký hiệu là P hoặc P(x) (chữ cái P được lấy từ polynomial). Thường thì ta hay dùng P để ký hiệu cho đa thức, chứ không P(x). Song việc dùng ký hiệu hàm P(x) đã có từ thời mà sự phân biệt giữa đa thức và hàm gắn liền vẫn còn chưa rõ. Ký hiệu hàm vẫn được dùng khi muốn nói trong một lời về đa thức và biến của nó. Ví dụ, câu "gọi P(x) là đa thức" có thể hiểu ngay là "gọi P là đa thức trong biến x". Mặt khác, nhiều công thức trở nên dễ nhìn và dễ đọc hơn khi bỏ đi tên các biến trong đa thức.

Ngoài ra, lợi dụng tính tổng quát đằng sau ký hiệu hàm của đa thức, ta có thể dùng ký hiệu ánh xạ cho đa thức. Nếu a là một số, hay một biến, hay một đa thức hoặc tổng quát hơn là bất kỳ biểu thức khác thì P(a) là kết quả khi thay a cho x vào trong P. Do đó đa thức P định nghĩa hàm số sau:

�↦�(�),

được gọi là hàm đa thức gắn với P. Thường thì khi dùng sử dụng ký hiệu, ta thường coi a là số. Tuy nhiên, ta có thể dùng nó trên bất cứ miền nào có phép cộng và phép nhân được định nghĩa (tức là trên một vành). Đặc biệt là, nếu a là đa thức thì P(a) cũng là đa thức.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức đa thức là biểu thức được xây từ các hằng số và các ký hiệu chữ số được gọi là biến và được nối với nhau bằng các phép cộng, phép nhân. Các biến trong đa thức có thể được mũ lên số nguyên không âm. Hằng số thường là các con số nói chung, nhưng cũng có thể biểu diễn các đối tượng toán học khác cũng có thể nhân và cộng với biến và các hằng số còn lại. Hai biểu thức đa thức được gọi là biểu diễn chung một đa thức nếu một trong hai cái có thể biến đổi về cái còn lại qua việc sử dụng các tính chất của giao hoán, kết hợp và phân phối của phép cộng và phép nhân. Lấy ví dụ, (�−1)(�−2) và �2−3�+2 là hai biểu thức đa thức biểu diễn chung một đa thức; do đó ta có đẳng thức sau: (�−1)(�−2)=�2−3�+2.