giúp mình với

Bài 29. Để kiểm tra tính khả vi của các hàm số tại điểm \( x = 0 \), ta cần kiểm tra giới hạn của tỉ số sai phân tại điểm đó. Hàm số \( f(x) \) khả vi tại \( x = 0 \) nếu tồn tại giới hạn: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. \] a. \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0, \\ 0 & \text{nếu } x = 0. \end{array} \right. \) Tính giới hạn: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}. \] Ta biết rằng \( \sin \frac{1}{h} \) bị chặn trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó: \[ -|h| \leq h \sin \frac{1}{h} \leq |h|. \] Khi \( h \to 0 \), cả hai cận trên và cận dưới đều tiến đến 0. Vì vậy: \[ \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0. \] Do đó, hàm số \( f(x) \) khả vi tại \( x = 0 \). b. \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{nếu } x \neq 0, \\ 0 & \text{nếu } x = 0. \end{array} \right. \) Tính giới hạn: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h e^{-\frac{1}{h^2}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} e^{-\frac{1}{h^2}}. \] Ta biết rằng \( e^{-\frac{1}{h^2}} \) tiến đến 0 khi \( h \to 0 \). Vì vậy: \[ \lim_{h \to 0} e^{-\frac{1}{h^2}} = 0. \] Do đó, hàm số \( f(x) \) khả vi tại \( x = 0 \). c. \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \text{nếu } x < 0, \\ \ln(x + 1) & \text{nếu } x \geq 0. \end{array} \right. \) Tính giới hạn từ bên trái: \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} 2 = 2. \] Tính giới hạn từ bên phải: \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(h + 1) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(h + 1)}{h}. \] Áp dụng quy tắc L'Hôpital: \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(h + 1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{h + 1}}{1} = 1. \] Hai giới hạn từ bên trái và bên phải không bằng nhau, do đó hàm số \( f(x) \) không khả vi tại \( x = 0 \). d. \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x \cos \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0, \\ 0 & \text{nếu } x = 0. \end{array} \right. \) Tính giới hạn: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \cos \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \cos \frac{1}{h}. \] Ta biết rằng \( \cos \frac{1}{h} \) dao động giữa \(-1\) và \(1\) khi \( h \to 0 \). Do đó, giới hạn này không tồn tại. Do đó, hàm số \( f(x) \) không khả vi tại \( x = 0 \). Đáp số: a. Có, b. Có, c. Không, d. Không. Bài 30. Để các hàm số khả vi tại $x=0$, chúng ta cần đảm bảo rằng các hàm số liên tục và có đạo hàm tồn tại tại điểm đó. Chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. a. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2 + ax + b & \text{nếu } x < 0, \\ \arctan x & \text{nếu } x \geq 0. \end{array}\right.$ Điều kiện liên tục tại $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ $\lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax + b) = \lim_{x \to 0^+} \arctan x = \arctan 0 = 0$ $b = 0$ Điều kiện khả vi tại $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x)$ $\lim_{x \to 0^-} (2x + a) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+x^2} = 1$ $a = 1$ Vậy $a = 1$ và $b = 0$. b. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\ln(1+2\sin^2x)}{x} & \text{nếu } x \neq 0, \\ a & \text{nếu } x = 0. \end{array}\right.$ Điều kiện liên tục tại $x=0$: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2\sin^2x)}{x} = a$ Sử dụng giới hạn $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2\sin^2x)}{2\sin^2x} \cdot \frac{2\sin^2x}{x} = a$ $\lim_{x \to 0} 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sin^2x}{x^2} \cdot x = a$ $2 \cdot 1 \cdot 0 = a$ $a = 0$ Vậy $a = 0$. c. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{e^{\sin^2x}-1}{x} & \text{nếu } x \neq 0, \\ b & \text{nếu } x = 0. \end{array}\right.$ Điều kiện liên tục tại $x=0$: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin^2x}-1}{x} = b$ Sử dụng giới hạn $\lim_{u \to 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin^2x}-1}{\sin^2x} \cdot \frac{\sin^2x}{x} = b$ $\lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{\sin^2x}{x^2} \cdot x = b$ $1 \cdot 1 \cdot 0 = b$ $b = 0$ Vậy $b = 0$. d. $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{2x} & \text{nếu } x \leq 0, \\ ax + b & \text{nếu } x > 0. \end{array}\right.$ Điều kiện liên tục tại $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} e^{2x} = \lim_{x \to 0^+} (ax + b) = e^{2 \cdot 0} = 1$ $b = 1$ Điều kiện khả vi tại $x=0$: $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x)$ $\lim_{x \to 0^-} 2e^{2x} = \lim_{x \to 0^+} a$ $2e^{2 \cdot 0} = a$ $a = 2$ Vậy $a = 2$ và $b = 1$. Đáp số: a. $a = 1$, $b = 0$. b. $a = 0$. c. $b = 0$. d. $a = 2$, $b = 1$.