Tính giá trụ bieu thuc Câu 48. Tính giá trị của biểu thức $Q=(4^{3+\sqrt3}-4^{\sqrt3-1}).2^{-2\sqrt3}.$

Question

Accepted Answer

Câu 48.
Để tính giá trị của biểu thức $ Q = (4^{3 + \sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển đổi cơ số của các lũy thừa về cùng một cơ số.
$$ 4 = 2^2 $$
Do đó:
$$ 4^{3 + \sqrt{3}} = (2^2)^{3 + \sqrt{3}} = 2^{2(3 + \sqrt{3})} = 2^{6 + 2\sqrt{3}} $$
$$ 4^{\sqrt{3} - 1} = (2^2)^{\sqrt{3} - 1} = 2^{2(\sqrt{3} - 1)} = 2^{2\sqrt{3} - 2} $$

Bước 2: Thay các giá trị đã chuyển đổi vào biểu thức $ Q $:
$$ Q = (2^{6 + 2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3} - 2}) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $$

Bước 3: Áp dụng quy tắc lũy thừa để đơn giản hóa biểu thức:
$$ Q = 2^{6 + 2\sqrt{3}} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3} - 2} \cdot 2^{-2\sqrt{3}} $$
$$ Q = 2^{(6 + 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{3})} - 2^{(2\sqrt{3} - 2) + (-2\sqrt{3})} $$
$$ Q = 2^6 - 2^{-2} $$

Bước 4: Tính giá trị của các lũy thừa:
$$ 2^6 = 64 $$
$$ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $$

Bước 5: Kết hợp các giá trị lại:
$$ Q = 64 - \frac{1}{4} $$
$$ Q = \frac{256}{4} - \frac{1}{4} $$
$$ Q = \frac{255}{4} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ Q $ là:
$$ Q = \frac{255}{4} $$