Giúp mình với! Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a $,SA\bot(ABCD),SB=a\sqrt5.$ Gọi M,N,lần lượt là trung điểm SB,SD. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau MD và CN .

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
- SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- SB = a√5.
- M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD.

Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh và các điểm M, N.
- Vì ABCD là hình vuông cạnh a, ta có thể đặt tọa độ các đỉnh như sau:
  - A(0, 0, 0)
  - B(a, 0, 0)
  - C(a, a, 0)
  - D(0, a, 0)
- SA vuông góc với (ABCD), nên S có tọa độ (0, 0, h). Ta cần tìm h.
- Biết SB = a√5, ta có:
  $$
  SB = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2} = a\sqrt{5}
  $$
  $$
  \sqrt{a^2 + h^2} = a\sqrt{5}
  $$
  $$
  a^2 + h^2 = 5a^2
  $$
  $$
  h^2 = 4a^2
  $$
  $$
  h = 2a
  $$
  Vậy S có tọa độ (0, 0, 2a).

- M là trung điểm của SB, nên tọa độ của M là:
  $$
  M\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)
  $$

- N là trung điểm của SD, nên tọa độ của N là:
  $$
  N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+2a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)
  $$

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng MD và CN.
- Vectơ MD:
  $$
  \overrightarrow{MD} = D - M = (0 - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - a) = \left(-\frac{a}{2}, a, -a\right)
  $$

- Vectơ CN:
  $$
  \overrightarrow{CN} = N - C = (0 - a, \frac{a}{2} - a, a - 0) = (-a, -\frac{a}{2}, a)
  $$

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa MD và CN.
- Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa MD và CN. Gọi vectơ này là $\vec{n}$.
- Ta có:
  $$
  \vec{n} = \overrightarrow{MD} \times \overrightarrow{CN}
  $$
  $$
  \vec{n} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
  -\frac{a}{2} & a & -a \
  -a & -\frac{a}{2} & a
  \end{vmatrix}
  $$
  $$
  \vec{n} = \mathbf{i}(a \cdot a - (-a) \cdot (-\frac{a}{2})) - \mathbf{j}((-\frac{a}{2}) \cdot a - (-a) \cdot (-a)) + \mathbf{k}((-\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{a}{2}) - a \cdot (-a))
  $$
  $$
  \vec{n} = \mathbf{i}(a^2 - \frac{a^2}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{a^2}{2} - a^2) + \mathbf{k}(\frac{a^2}{4} + a^2)
  $$
  $$
  \vec{n} = \mathbf{i}(\frac{a^2}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{3a^2}{2}) + \mathbf{k}(\frac{5a^2}{4})
  $$
  $$
  \vec{n} = \left(\frac{a^2}{2}, \frac{3a^2}{2}, \frac{5a^2}{4}\right)
  $$

Bước 4: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau MD và CN.
- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng CN.
- Gọi vectơ $\overrightarrow{MC}$:
  $$
  \overrightarrow{MC} = C - M = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - a) = \left(\frac{a}{2}, a, -a\right)
  $$

- Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng CN là:
  $$
  d = \frac{|\overrightarrow{MC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
  $$
  $$
  \overrightarrow{MC} \cdot \vec{n} = \left(\frac{a}{2}, a, -a\right) \cdot \left(\frac{a^2}{2}, \frac{3a^2}{2}, \frac{5a^2}{4}\right)
  $$
  $$
  \overrightarrow{MC} \cdot \vec{n} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a^2}{2} + a \cdot \frac{3a^2}{2} + (-a) \cdot \frac{5a^2}{4}
  $$
  $$
  \overrightarrow{MC} \cdot \vec{n} = \frac{a^3}{4} + \frac{3a^3}{2} - \frac{5a^3}{4}
  $$
  $$
  \overrightarrow{MC} \cdot \vec{n} = \frac{a^3}{4} + \frac{6a^3}{4} - \frac{5a^3}{4}
  $$
  $$
  \overrightarrow{MC} \cdot \vec{n} = \frac{2a^3}{4} = \frac{a^3}{2}
  $$

- Độ dài vectơ $\vec{n}$:
  $$
  |\vec{n}| = \sqrt{\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{3a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{5a^2}{4}\right)^2}
  $$
  $$
  |\vec{n}| = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{9a^4}{4} + \frac{25a^4}{16}}
  $$
  $$
  |\vec{n}| = \sqrt{\frac{4a^4}{16} + \frac{36a^4}{16} + \frac{25a^4}{16}}
  $$
  $$
  |\vec{n}| = \sqrt{\frac{65a^4}{16}} = \frac{a^2\sqrt{65}}{4}
  $$

- Khoảng cách d:
  $$
  d = \frac{\left|\frac{a^3}{2}\right|}{\frac{a^2\sqrt{65}}{4}} = \frac{\frac{a^3}{2}}{\frac{a^2\sqrt{65}}{4}} = \frac{2a^3}{a^2\sqrt{65}} = \frac{2a}{\sqrt{65}} = \frac{2a\sqrt{65}}{65}
  $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau MD và CN là:
$$
d = \frac{2a\sqrt{65}}{65}
$$