Công thức nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton là một công thức quan trọng trong đại số, giúp ta mở rộng lũy thừa của một tổng hai số. Công thức này có dạng như sau: $$ Trong đó: - $$ là số tự nhiên. - $$ là hệ số nhị thức, còn được gọi là hệ số tổ hợp, và được tính bằng công thức: $$ Trong đó $$ là giai thừa của $$. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ bản Ta kiểm tra trường hợp $$: $$ Theo công thức nhị thức Newton: $$ Vậy công thức đúng khi $$. Bước 2: Giả thiết quy nạp Giả sử công thức đúng cho $$, tức là: $$ Bước 3: Chứng minh cho trường hợp $$ Ta cần chứng minh rằng: $$ Ta có: $$ Áp dụng giả thiết quy nạp: $$ Mở rộng biểu thức: $$ $$ Chuyển đổi chỉ số trong tổng thứ hai: $$ Gộp lại thành một tổng duy nhất: $$ Sử dụng tính chất của hệ số nhị thức: $$ Ta có: $$ $$ Vậy công thức nhị thức Newton đã được chứng minh đúng cho mọi số tự nhiên $$.