ùlhdpugtcygkbi

Câu 1. Phương trình $12x - 5y = 4$ có dạng $ax + by = c$, trong đó: - Hệ số $a$ là hệ số của $x$, tức là $12$. - Hệ số $b$ là hệ số của $y$, tức là $-5$. - Hệ số $c$ là hằng số tự do, tức là $4$. Vậy hệ số $a$, $b$, $c$ lần lượt là $12$, $-5$, $4$. Câu 2.. Phương trình $x - x^2 = 0$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ x(1 - x) = 0 \] Từ đây, ta thấy rằng phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp: 1. \( x = 0 \) 2. \( 1 - x = 0 \) Trường hợp thứ hai dẫn đến: \[ 1 - x = 0 \] \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Câu 3. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{81.(5-x)^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Ta có $x \geq 5$, do đó $(5 - x) \leq 0$. Bước 2: Rút gọn biểu thức: - Ta biết rằng $\sqrt{a^2} = |a|$. Do đó, $\sqrt{(5-x)^2} = |5-x|$. - Vì $x \geq 5$, nên $5 - x \leq 0$, do đó $|5-x| = -(5-x) = x-5$. - Biểu thức $\sqrt{81.(5-x)^2}$ có thể viết lại thành $\sqrt{81} \times \sqrt{(5-x)^2}$. - Ta biết rằng $\sqrt{81} = 9$, do đó $\sqrt{81.(5-x)^2} = 9 \times |5-x| = 9 \times (x-5)$. Vậy biểu thức rút gọn là $9(x-5)$. Đáp số: $9(x-5)$. Câu 4. Để biểu thức $\sqrt{1-2x}$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. \[ 1 - 2x \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình trên. \[ 1 \geq 2x \] \[ \frac{1}{2} \geq x \] \[ x \leq \frac{1}{2} \] Vậy điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{1-2x}$ là: \[ x \leq \frac{1}{2} \] Câu 5. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l2x-y=1\\x+y=2\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Không có điều kiện xác định đặc biệt nào cần thiết cho hệ phương trình này. Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: - Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 1 \\ x + y = 2 \end{array} \right. \] - Cộng hai phương trình lại: \[ (2x - y) + (x + y) = 1 + 2 \] \[ 2x + x = 3 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \): - Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( x + y = 2 \): \[ 1 + y = 2 \] \[ y = 2 - 1 \] \[ y = 1 \] Bước 4: Kiểm tra nghiệm: - Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình \( 2x - y = 1 \): \[ 2(1) - 1 = 1 \] \[ 2 - 1 = 1 \] \[ 1 = 1 \quad (\text{đúng}) \] - Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình \( x + y = 2 \): \[ 1 + 1 = 2 \] \[ 2 = 2 \quad (\text{đúng}) \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Đáp số: \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Câu 6. Biểu thức $M = \tan 27^\circ . \tan 63^\circ$ Ta biết rằng $\tan(90^\circ - x) = \cot x$. Do đó, ta có: $\tan 63^\circ = \tan(90^\circ - 27^\circ) = \cot 27^\circ$ Do đó, biểu thức $M$ có thể viết lại thành: $M = \tan 27^\circ . \cot 27^\circ$ Biết rằng $\cot x = \frac{1}{\tan x}$, ta có: $M = \tan 27^\circ . \frac{1}{\tan 27^\circ} = 1$ Vậy giá trị của biểu thức $M$ là 1. Câu 7. Để giải quyết câu hỏi về số đo của cung \( C_nB \), chúng ta cần biết thêm thông tin về các điểm trên đường tròn và các số đo liên quan. Tuy nhiên, dựa vào thông tin đã cung cấp, chúng ta sẽ giả định rằng các điểm \( C_1, C_2, ..., C_n \) được phân bố đều trên đường tròn và mỗi cung giữa hai điểm liên tiếp có cùng số đo. Giả sử đường tròn có tổng số đo là 360° và có \( n \) điểm \( C_1, C_2, ..., C_n \) được phân bố đều trên đường tròn. Điều này có nghĩa là mỗi cung giữa hai điểm liên tiếp sẽ có số đo là: \[ \text{Số đo mỗi cung} = \frac{360^\circ}{n} \] Vì các điểm được phân bố đều, cung \( C_nB \) sẽ là một phần của các cung liên tiếp từ \( C_n \) đến \( B \). Giả sử \( B \) là một điểm cố định trên đường tròn, và \( C_n \) là một trong các điểm \( C_1, C_2, ..., C_n \). Nếu \( B \) nằm giữa hai điểm \( C_i \) và \( C_{i+1} \), số đo của cung \( C_nB \) sẽ là: \[ \text{Số đo cung } C_nB = \frac{360^\circ}{n} \times (n - i) \] Trong trường hợp cụ thể, nếu \( B \) là điểm tiếp theo sau \( C_n \), số đo của cung \( C_nB \) sẽ là: \[ \text{Số đo cung } C_nB = \frac{360^\circ}{n} \] Vậy, số đo của cung \( C_nB \) là: \[ \boxed{\frac{360^\circ}{n}} \] Câu 8. Trước tiên, ta cần biết rằng trong tam giác vuông, cosin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh kề với góc đó và độ dài cạnh huyền. Ta có: \[ \cos C = \frac{AC}{BC} \] Biết rằng \( AC = 6 \, \text{cm} \) và \( \cos C = \frac{3}{5} \), ta thay vào công thức trên: \[ \frac{6}{BC} = \frac{3}{5} \] Từ đây, ta giải phương trình để tìm độ dài cạnh BC: \[ 6 = \frac{3}{5} \times BC \] \[ BC = 6 \times \frac{5}{3} \] \[ BC = 10 \, \text{cm} \] Bây giờ, ta sử dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài cạnh AB. Theo định lý Pythagoras: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AB^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ AB^2 + 36 = 100 \] \[ AB^2 = 100 - 36 \] \[ AB^2 = 64 \] \[ AB = \sqrt{64} \] \[ AB = 8 \, \text{cm} \] Vậy độ dài cạnh AB là 8 cm. Câu 9. Độ dài cung $30^0$ của một đường tròn có bán kính 4dm là: $\frac{30^0}{360^0}\times 2\times \pi \times 4= \frac{1}{12}\times 2\times 3,14\times 4= 2,09(dm)$ Đáp số: 2,09 dm Câu 10. Để so sánh \(a - 7\) và \(b - 7\), ta thực hiện các bước sau: 1. So sánh \(a\) và \(b\): Ta biết rằng \(a > b\). 2. Tính hiệu giữa \(a\) và \(b\): \(a - b > 0\) 3. Tính hiệu giữa \(a - 7\) và \(b - 7\): \((a - 7) - (b - 7) = a - 7 - b + 7 = a - b\) 4. So sánh hiệu này với 0: Vì \(a - b > 0\), nên \((a - 7) - (b - 7) > 0\). 5. Kết luận: Do \((a - 7) - (b - 7) > 0\), ta có \(a - 7 > b - 7\). Vậy, \(a - 7\) lớn hơn \(b - 7\). Câu 11. Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh huyền BC: Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh huyền BC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ BC = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \] 2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: Trong tam giác vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền. Do đó: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2} \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \[ R = \frac{\sqrt{41}}{2} \text{ cm} \] Câu 12. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác đều, do đó các góc của nó đều bằng 60°. Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên các đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn này. Đường cao AH cũng là đường phân giác của góc BAC, do đó góc BAH = góc CAH = 30°. Khi đường cao AH cắt cung nhỏ BC tại điểm M, ta cần tìm số đo góc MBC. Ta biết rằng góc BAC nội tiếp chắn cung BC, do đó số đo của góc BAC bằng một nửa số đo của cung BC. Vì tam giác ABC đều, cung BC sẽ có số đo là 120° (vì tổng các cung của đường tròn là 360° và tam giác đều chia đường tròn thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần là 120°). Góc MBC là góc nội tiếp chắn cung MC. Ta cần tìm số đo của cung MC để xác định số đo của góc MBC. Vì M nằm trên cung BC và AH là đường cao đồng thời là đường phân giác, cung BM sẽ bằng cung MC. Do đó, cung MC sẽ có số đo là 60° (vì cung BC là 120° và được chia đôi bởi điểm M). Số đo của góc MBC bằng một nửa số đo của cung MC, tức là: \[ \text{Số đo góc MBC} = \frac{1}{2} \times 60° = 30° \] Vậy số đo góc MBC là 30°. Câu 13. Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \), \( x \neq 1 \). Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( A \). Ta có: \[ A = \left( \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \] Bước 2: Chuyển về cùng mẫu số chung cho các phân thức trong ngoặc. Nhận thấy \( x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \), ta có: \[ \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} = \frac{\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu và thực hiện phép chia phân thức. \[ A = \left( \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \right) : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \] Phép chia phân thức: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \times \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \] Bước 4: Nhân tử liên hợp để rút gọn biểu thức. \[ A = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 3)(x - 1)} \] Nhận thấy \( x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \), ta có: \[ A = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Bước 5: Rút gọn biểu thức. \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Câu 14. Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \). Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân thức: \[ \frac{1}{x} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{-2}{x(x-2)} \] Bước 2: Nhân cả hai vế với \( x(x-2) \): \[ (x-2) - x(x+2) = -2 \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và giảm dần: \[ x - 2 - x^2 - 2x = -2 \] \[ -x^2 - x - 2 = -2 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ -x^2 - x - 2 + 2 = 0 \] \[ -x^2 - x = 0 \] Bước 5: Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa: \[ x^2 + x = 0 \] Bước 6: Factorize phương trình: \[ x(x + 1) = 0 \] Bước 7: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 8: Kiểm tra lại điều kiện xác định: - \( x = 0 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 0 \). - \( x = -1 \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -1 \). Đáp số: \( x = -1 \). Câu 15. Bước 1: Tính diện tích bề mặt của chiếc bánh pizza ban đầu. Diện tích bề mặt của chiếc bánh pizza là: \[ S_{pizza} = \pi r^2 \] Trong đó, \( r \) là bán kính của chiếc bánh pizza. Vì đường kính của chiếc bánh là 30 cm, nên bán kính là: \[ r = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm} \] Do đó, diện tích bề mặt của chiếc bánh pizza là: \[ S_{pizza} = 3,14 \times 15^2 = 3,14 \times 225 = 706,5 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích bề mặt của một miếng bánh. Chiếc bánh pizza được cắt thành 4 miếng bằng nhau, do đó diện tích bề mặt của một miếng bánh là: \[ S_{miếng} = \frac{S_{pizza}}{4} = \frac{706,5}{4} = 176,625 \text{ cm}^2 \] Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân, ta có: \[ S_{miếng} \approx 176,63 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích bề mặt của một miếng bánh là 176,63 cm². Câu 16. Gọi tiền điện tháng 1 là x (đơn vị: nghìn đồng, điều kiện: x > 0) Tiền nước tháng 1 là: 1075 – x (nghìn đồng) Tiền điện tháng 2 là: \[ x + \frac{10}{100} x = \frac{110}{100} x = \frac{11}{10} x \] (nghìn đồng) Tiền nước tháng 2 là: \[ (1075 - x) + \frac{12}{100} (1075 - x) = \frac{112}{100} (1075 - x) = \frac{28}{25} (1075 - x) \] (nghìn đồng) Theo đề bài ta có: \[ \frac{11}{10} x + \frac{28}{25} (1075 - x) = 1075 + 112,5 \] \[ \frac{11}{10} x + \frac{28}{25} (1075 - x) = 1187,5 \] \[ \frac{11}{10} x + 1184 - \frac{28}{25} x = 1187,5 \] \[ (\frac{11}{10} - \frac{28}{25}) x = 1187,5 - 1184 \] \[ \frac{-3}{50} x = 3,5 \] \[ x = 3,5 \times \frac{50}{3} \] \[ x = 58,33 \] Vậy tiền điện tháng 1 là 58,33 nghìn đồng Tiền nước tháng 1 là: \[ 1075 - 58,33 = 1016,67 \] (nghìn đồng) Đáp số: Tiền điện: 58,33 nghìn đồng Tiền nước: 1016,67 nghìn đồng Câu 17 a) Ta có $\widehat{AMC}=\widehat{AOC}=90^\circ$ nên 4 điểm A, M, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Ta có $\widehat{CMD}=\widehat{CBM}$ (cùng bù với $\widehat{OMB})$ và $\widehat{DCM}=\widehat{BCM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CB) $\Rightarrow \triangle DCM \sim \triangle BCM$ (g-g) $\Rightarrow \frac{DM}{CM}=\frac{CM}{BM}\Rightarrow CM^2=DM.BM$ b) Ta có $\widehat{ACM}=\widehat{ABM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) Mà $\widehat{ACM}=\widehat{ACH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AH) $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACH}$ $\Rightarrow \widehat{ABM}+\widehat{CBH}=90^\circ$ (vì $\widehat{ACH}+\widehat{CBH}=90^\circ)$ $\Rightarrow MB\perp CH$ Mà $\widehat{CHB}=90^\circ$ nên MB đi qua trung điểm của CH. Câu 18. Điều kiện xác định: \(a, b, c \geq 0\) Ta có: \[ P = \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} + \sqrt{3b^2 - 2bc + 3c^2} + \sqrt{3c^2 - 2ca + 3a^2} \] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: \[ \sqrt{(a^2 + b^2)(3 + 1)} \geq \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} \] \[ \sqrt{(b^2 + c^2)(3 + 1)} \geq \sqrt{3b^2 - 2bc + 3c^2} \] \[ \sqrt{(c^2 + a^2)(3 + 1)} \geq \sqrt{3c^2 - 2ca + 3a^2} \] Từ đó ta có: \[ \sqrt{4(a^2 + b^2)} \geq \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} \] \[ \sqrt{4(b^2 + c^2)} \geq \sqrt{3b^2 - 2bc + 3c^2} \] \[ \sqrt{4(c^2 + a^2)} \geq \sqrt{3c^2 - 2ca + 3a^2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} \] \[ 2\sqrt{b^2 + c^2} \geq \sqrt{3b^2 - 2bc + 3c^2} \] \[ 2\sqrt{c^2 + a^2} \geq \sqrt{3c^2 - 2ca + 3a^2} \] Cộng lại ta có: \[ 2(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}) \geq P \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2})^2 \leq 3((a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2)) \] \[ (\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2})^2 \leq 3(2(a^2 + b^2 + c^2)) \] \[ (\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2})^2 \leq 6(a^2 + b^2 + c^2) \] Do đó: \[ \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} \leq \sqrt{6(a^2 + b^2 + c^2)} \] Vì \(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3\), ta có: \[ a + b + c \leq 3 \] Do đó: \[ a^2 + b^2 + c^2 \leq 3 \] Vậy: \[ \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} \leq \sqrt{6 \times 3} = 3\sqrt{2} \] Do đó: \[ 2(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}) \leq 6\sqrt{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(6\sqrt{2}\), đạt được khi \(a = b = c = 1\). Đáp số: \(P_{min} = 6\sqrt{2}\)