Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (0).Các đường cao AD,BE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp. b) Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Đt OM cắt AB,AC theo thứ tự tạ...

Tâm Dương

a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp:

Xét tứ giác ABDE, ta có:

góc ADB = 90 độ (AD là đường cao)

góc AEB = 90 độ (BE là đường cao)

Suy ra góc ADB + góc AEB = 90 độ + 90 độ = 180 độ

Vậy tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh góc APQ = góc BED và AP.CM = PN.HC:

Chứng minh góc APQ = góc BED:

Vì ABDE nội tiếp nên góc BED = góc BAD.

Vì OM vuông góc BC tại M nên M là trung điểm cung BC.

Suy ra góc BOC = 2 góc BAC và góc BOM = góc BAC.

Vì OM vuông góc PQ tại N nên N là trung điểm PQ.

Suy ra góc POQ = 2 góc PAQ và góc PON = góc PAQ.

Do đó, góc BAC = góc PAQ.

Vậy góc BED = góc BAD = góc PAQ = góc APQ.

Chứng minh AP.CM = PN.HC:

Vì góc APQ = góc BED nên tam giác APN đồng dạng tam giác HEC (g-g).

Suy ra AP/HE = PN/EC.

Vì tam giác HBD đồng dạng tam giác ACE (g-g) nên HB/AC = BD/CE.

Vì tam giác HBD đồng dạng tam giác MCD (g-g) nên HB/MC = BD/MD.

Từ đó, ta có AP/HE = PN/EC suy ra AP.EC = PN.HE.

Lại có HB/AC = BD/CE suy ra AC.BD = HB.CE.

Và HB/MC = BD/MD suy ra MC.HB = BD.MD.

Suy ra AP.CM = PN.HC.

c) Chứng minh 3 điểm I, A, N thẳng hàng:

Gọi I' là giao điểm của AN và (O).

Ta cần chứng minh I' trùng I.

Xét tam giác APN và tam giác AQC, ta có:

góc PAQ chung

góc APN = góc AQC (cùng phụ với góc PON)

Suy ra tam giác APN đồng dạng tam giác AQC (g-g).

Do đó, AP/AQ = AN/AC suy ra AP.AC = AN.AQ.

Tương tự, tam giác AQN đồng dạng tam giác ABP (g-g).

Suy ra AQ/AP = AN/AB suy ra AQ.AB = AN.AP.

Vậy AP.AC = AQ.AB.

Suy ra tam giác APQ đồng dạng tam giác ACB (c-g-c).

Do đó, góc APQ = góc ACB.

Mà góc APQ = góc BED nên góc ACB = góc BED.

Suy ra tứ giác BCDE nội tiếp.

Vậy I' trùng I.

Do đó, 3 điểm I, A, N thẳng hàng.