2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC, Lấy điểm A trên cung BC sao cho AB

Question

2)	Cho đường tròn tâm O, đường kính BC, Lấy điểm A trên cung BC sao cho  AB < AC . Trên OC lấy điểm D, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC  tại E .
a) Chứng minh : góc BAC = 900 và  tứ giác ABDE nội tiếp?
b) Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn tại F. Chứng minh:
  HF.DC = HC.ED?
          c) Chứng minh BC là tia phân giác của góc ABF?

chauhoang161 · Accepted Answer

a) $\widehat{B A C}$ chắn đường kính $B C$ nên $\widehat{B A C}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nhửa đường tròn)
Tứ giác $A B D E$ có:

$
\widehat{B A E}+\widehat{B D E}=180^{\circ}
$

$\Rightarrow A B D E$ nội tiếp đường tròn đường kính $(B E)$

b)

Ta có $ riangle O A F$ cân đỉnh O (vì $O A=O F=R$ )

$
A H \perp B C \Rightarrow O H \perp A F
$

$O H$ là đường cao của $ riangle O A F$ cân tại $O $ nên cũng là đường trung tuyến

$
\Rightarrow A H=F H
$
Xét $ riangle A H C$ và $ riangle E D C$ có:

$
\widehat{A H C}=\widehat{E D C}=90^{\circ}
$

$\widehat{C}$ chung

$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \Delta A H C \sim \Delta E D C(\mathrm{~g} \cdot \mathrm{~g}) \
& \Rightarrow \frac{A H}{H C}=\frac{E D}{D C} \
& \Rightarrow A H \cdot D C=E D \cdot H C( ext { do } A H=F H \mathrm{cmt}) \
& \Rightarrow F H \cdot D C=E D \cdot H C
\end{aligned}
$

c)

$ riangle B A F$ có $B H \perp A F$ (do đề cho AH là đường cao tam giác ABC )

BH là đường cao, BH vừa là đường trung tuyến nên $ riangle B A F$ cân đỉnh B
$\Rightarrow B H$ là đường cao cũng là đường phân giác.

Timi · Answer

a) Chứng minh góc BAC = 90° và tứ giác ABDE nội tiếp?

- Vì đường tròn tâm O có đường kính BC, nên mọi điểm trên đường tròn tạo với B và C một góc vuông. Do đó, góc BAC = 90°.

- Xét tứ giác ABDE:
  + Góc BAE = 90° (vì BAC = 90°)
  + Góc BED = 90° (vì DE vuông góc với BC)
  + Vậy tứ giác ABDE có tổng hai góc đối bằng 180°, do đó tứ giác ABDE nội tiếp.

b) Chứng minh HF.DC = HC.ED?

- Xét tam giác HFC và tam giác HED:
  + Góc HFC = góc HED (cùng bằng 90°)
  + Góc HCF = góc HDE (góc nội tiếp cùng chắn cung HF)
  + Vậy tam giác HFC và tam giác HED đồng dạng theo trường hợp góc - góc.
  
- Từ đó ta có tỉ lệ:
  $$
  \frac{HF}{HC} = \frac{ED}{DC}
  $$
  Suy ra:
  $$
  HF \cdot DC = HC \cdot ED
  $$

c) Chứng minh BC là tia phân giác của góc ABF?

- Xét tam giác ABF và tam giác CBF:
  + Góc BAF = góc BCF (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
  + Góc ABF = góc CBF (góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
  + Vậy tam giác ABF và tam giác CBF đồng dạng theo trường hợp góc - góc.
  
- Từ đó ta có:
  $$
  \frac{AB}{BF} = \frac{CB}{BF}
  $$
  Suy ra:
  $$
  AB = CB
  $$
  Vậy BC là tia phân giác của góc ABF.

Đáp số: 
a) Góc BAC = 90° và tứ giác ABDE nội tiếp.
b) HF.DC = HC.ED
c) BC là tia phân giác của góc ABF.

rimunutempest · Answer

2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC, Lấy điểm A trên cung BC sao cho AB < AC . Trên OC lấy điểm D, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E . a) Chứng minh : góc BAC = 900 và tứ giác ABDE...