giải giúp mình

Câu 4: Để tính số tiền bác Bình phải trả, chúng ta cần biết diện tích của phần cửa cổng hình parabol và sau đó nhân với giá thuê mỗi mét vuông. 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có đỉnh ở điểm (0, 3) và đi qua hai điểm (-2, 0) và (2, 0). - Phương trình chung của parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). 2. Áp dụng điều kiện để xác định các hệ số: - Vì đỉnh của parabol là (0, 3), ta có \( c = 3 \). - Parabol đi qua điểm (-2, 0), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(-2)^2 + b(-2) + 3 \implies 0 = 4a - 2b + 3 \] - Parabol cũng đi qua điểm (2, 0), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(2)^2 + b(2) + 3 \implies 0 = 4a + 2b + 3 \] 3. Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 4a - 2b + 3 = 0 \\ 4a + 2b + 3 = 0 \end{cases} \] - Cộng hai phương trình: \[ 8a + 6 = 0 \implies 8a = -6 \implies a = -\frac{3}{4} \] - Thay \( a = -\frac{3}{4} \) vào một trong hai phương trình: \[ 4\left(-\frac{3}{4}\right) - 2b + 3 = 0 \implies -3 - 2b + 3 = 0 \implies -2b = 0 \implies b = 0 \] 4. Phương trình của parabol: \[ y = -\frac{3}{4}x^2 + 3 \] 5. Tính diện tích phần cửa cổng: - Diện tích \( A \) của phần cửa cổng là tích phân của hàm \( y = -\frac{3}{4}x^2 + 3 \) từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \): \[ A = \int_{-2}^{2} \left( -\frac{3}{4}x^2 + 3 \right) dx \] - Tính tích phân: \[ A = \left[ -\frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{-2}^{2} = \left[ -\frac{x^3}{4} + 3x \right]_{-2}^{2} \] \[ A = \left( -\frac{(2)^3}{4} + 3(2) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{4} + 3(-2) \right) \] \[ A = \left( -\frac{8}{4} + 6 \right) - \left( -\frac{-8}{4} - 6 \right) = ( -2 + 6 ) - ( 2 - 6 ) \] \[ A = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8 \text{ m}^2 \] 6. Tính số tiền phải trả: - Giá thuê mỗi mét vuông là 900 000 đồng. - Số tiền phải trả: \[ 8 \times 900 000 = 7 200 000 \text{ đồng} = 7,2 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: Số tiền bác Bình phải trả là 7,2 triệu đồng. Câu 5: Để tính thể tích phần không gian bên trong trại, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol: - Ta biết rằng nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. - Ta chọn hệ tọa độ sao cho đỉnh trại nằm tại điểm (0, 3) và trục đối xứng của parabol trùng với trục y. - Phương trình của parabol có dạng \(y = ax^2 + 3\). - Ta biết rằng điểm (-1.5, 0) thuộc parabol (do bề ngang là 3 mét, nên khoảng cách từ đỉnh đến hai bên là 1.5 mét). - Thay vào phương trình: \(0 = a(-1.5)^2 + 3 \Rightarrow 0 = 2.25a + 3 \Rightarrow a = -\frac{3}{2.25} = -\frac{4}{3}\). - Vậy phương trình của parabol là \(y = -\frac{4}{3}x^2 + 3\). 2. Tính diện tích mặt cắt ngang của lều trại: - Mặt cắt ngang của lều trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 6 mét và chiều cao là \(y = -\frac{4}{3}x^2 + 3\). - Diện tích mặt cắt ngang là \(S(x) = 6 \times (-\frac{4}{3}x^2 + 3)\). 3. Tính thể tích phần không gian bên trong trại: - Thể tích phần không gian bên trong trại là tích của diện tích mặt cắt ngang và chiều dài của lều trại. - Chiều dài của lều trại là 6 mét. - Vậy thể tích là \(V = \int_{-1.5}^{1.5} S(x) \, dx = \int_{-1.5}^{1.5} 6 \times (-\frac{4}{3}x^2 + 3) \, dx\). - Tính tích phân: \[ V = 6 \int_{-1.5}^{1.5} (-\frac{4}{3}x^2 + 3) \, dx = 6 \left[ -\frac{4}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{-1.5}^{1.5} \] \[ V = 6 \left[ -\frac{4}{9}x^3 + 3x \right]_{-1.5}^{1.5} \] \[ V = 6 \left( \left( -\frac{4}{9}(1.5)^3 + 3(1.5) \right) - \left( -\frac{4}{9}(-1.5)^3 + 3(-1.5) \right) \right) \] \[ V = 6 \left( \left( -\frac{4}{9} \cdot 3.375 + 4.5 \right) - \left( -\frac{4}{9} \cdot (-3.375) - 4.5 \right) \right) \] \[ V = 6 \left( \left( -1.5 + 4.5 \right) - \left( 1.5 - 4.5 \right) \right) \] \[ V = 6 \left( 3 - (-3) \right) \] \[ V = 6 \times 6 = 36 \] Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là 36 mét khối. Câu 6: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A, B, D trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Điểm A nằm tại gốc tọa độ, do đó tọa độ của A là (0, 0, 0). - Điểm B nằm trên đường thẳng AB và thấp hơn A 5 cm, do đó tọa độ của B là (5, 0, -0.05). - Điểm D nằm trên đường thẳng AD và thấp hơn A 8 cm, do đó tọa độ của D là (0, 12, -0.08). Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm C. Vì ABCD là hình chữ nhật, nên ta có: - Tọa độ của C sẽ là (5, 12, z), trong đó z là giá trị cần tìm. Ta biết rằng trong hình chữ nhật, các đỉnh đối diện có cùng độ cao. Do đó, ta có thể suy ra rằng: - Độ cao của C so với A sẽ bằng độ cao của B so với A cộng thêm độ cao của D so với A. Do đó, ta có: \[ z = (-0.05) + (-0.08) = -0.13 \] Vậy tọa độ của C là (5, 12, -0.13). Cuối cùng, ta thấy rằng vị trí C thấp hơn vị trí A là 0.13 m, tức là 13 cm. Đáp số: Vị trí C thấp hơn vị trí A là 13 cm. Câu 7: Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{1} \sqrt{2 - x^2} \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền tích phân và hàm số: Hàm số \( f(x) = \sqrt{2 - x^2} \) là một nửa của đường tròn tâm tại gốc tọa độ với bán kính \( \sqrt{2} \). Tích phân từ \( -1 \) đến \( 1 \) sẽ bao gồm một phần của diện tích hình tròn này. 2. Sử dụng phương pháp đổi biến: Đặt \( x = \sqrt{2} \sin(t) \), do đó \( dx = \sqrt{2} \cos(t) \, dt \). 3. Xác định giới hạn mới: Khi \( x = -1 \), ta có: \[ -1 = \sqrt{2} \sin(t) \implies \sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies t = -\frac{\pi}{4} \] Khi \( x = 1 \), ta có: \[ 1 = \sqrt{2} \sin(t) \implies \sin(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies t = \frac{\pi}{4} \] 4. Thay đổi biến trong tích phân: \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - (\sqrt{2} \sin(t))^2} \cdot \sqrt{2} \cos(t) \, dt \] \[ = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - 2 \sin^2(t)} \cdot \sqrt{2} \cos(t) \, dt \] \[ = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2(1 - \sin^2(t))} \cdot \sqrt{2} \cos(t) \, dt \] \[ = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 \cos^2(t)} \cdot \sqrt{2} \cos(t) \, dt \] \[ = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos^2(t) \, dt \] 5. Áp dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} \] Do đó: \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \left( \frac{1 + \cos(2t)}{2} \right) \, dt \] \[ = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos(2t)) \, dt \] 6. Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dt + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2t) \, dt \] \[ = \left[ t \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ \frac{\sin(2t)}{2} \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ = \left( \frac{\pi}{4} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) + \left( \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2} - \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{2} \right) \] \[ = \frac{\pi}{2} + \left( \frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) \right) \] \[ = \frac{\pi}{2} + 1 \] Vậy, kết quả của tích phân là: \[ I = \frac{\pi}{2} + 1 \]