S= 1/11 +1/12+1/13+.....+1/70 . Chứng minh 4/3

Question

S= 1/11 +1/12+1/13+.....+1/70 . Chứng minh 4/3 <S < 5/2

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ \frac{4}{3} < S < \frac{5}{2} $ với $ S = \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \ldots + \frac{1}{70} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng giữa các phân số
Các phân số từ $ \frac{1}{11} $ đến $ \frac{1}{70} $ đều nằm trong khoảng từ $ \frac{1}{70} $ đến $ \frac{1}{11} $.

Bước 2: Tìm tổng của các phân số nhỏ nhất và lớn nhất
- Tổng của các phân số nhỏ nhất: $ \frac{1}{70} \times 60 = \frac{60}{70} = \frac{6}{7} $
- Tổng của các phân số lớn nhất: $ \frac{1}{11} \times 60 = \frac{60}{11} \approx 5.45 $

Bước 3: So sánh với các giá trị giới hạn
- Ta thấy rằng $ \frac{6}{7} \approx 0.857 $, nhỏ hơn $ \frac{4}{3} \approx 1.333 $.
- Ta cũng thấy rằng $ \frac{60}{11} \approx 5.45 $, lớn hơn $ \frac{5}{2} = 2.5 $.

Bước 4: Tính toán tổng S
- Số lượng các phân số trong dãy là $ 70 - 11 + 1 = 60 $ phân số.
- Mỗi phân số nằm giữa $ \frac{1}{70} $ và $ \frac{1}{11} $.

Bước 5: Sử dụng phương pháp trung bình
- Trung bình của các phân số này sẽ nằm giữa $ \frac{1}{70} $ và $ \frac{1}{11} $.
- Ta có thể ước lượng tổng $ S $ bằng cách lấy trung bình của $ \frac{1}{70} $ và $ \frac{1}{11} $:
$$ \text{Trung bình} = \frac{\frac{1}{70} + \frac{1}{11}}{2} = \frac{\frac{11 + 70}{770}}{2} = \frac{\frac{81}{770}}{2} = \frac{81}{1540} $$

Bước 6: Tính tổng S
- Tổng $ S $ sẽ là:
$$ S \approx 60 \times \frac{81}{1540} = \frac{4860}{1540} \approx 3.156 $$

Kết luận
- Ta thấy rằng $ \frac{4}{3} \approx 1.333 $ và $ \frac{5}{2} = 2.5 $. 
- Do đó, $ \frac{4}{3} < S < \frac{5}{2} $ là đúng vì $ S \approx 3.156 $ nằm trong khoảng này.

Vậy, ta đã chứng minh được $ \frac{4}{3} < S < \frac{5}{2} $.