Giải hộ mình câu này với các bạn Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến tại B, C cắt nhau tại F. D; E lần lượt là hình chiếu của F lên AB, AC. M là,trung điểm BC.,a) chứng minh: $B\widehat DM=C\widehat EM$,b) Chứng minh: $EM\bot AB$,c) Chứng minh: $AB.DM=AC.EM$

Question

cutemun3 · Accepted Answer

a, Vì BF, CF là các tiếp tuyến của (O) nên FB=FC
Mà OB=OC
Do đó OF là đường trung trực của BC
$\displaystyle \Longrightarrow OF\bot BC\ $tại M
Ta có: $\displaystyle \widehat{BMF} =\widehat{BDF} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow M,D$ thuộc đường tròn đường kính BF
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BDM} =\widehat{BFM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Ta có: $\displaystyle \widehat{CMF} =\widehat{CEF} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow M,E$ thuộc đường tròn đường kính FC
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{CEM} =\widehat{CFM}$
Ta có: $\displaystyle FB=FC\Longrightarrow \vartriangle FBC$ cân tại F
Mà MF là đường cao của $\displaystyle \vartriangle FBC$
Do đó FM đồng thời là phân giác của $\displaystyle \vartriangle FBC$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BFM} =\widehat{CFM} \Longrightarrow \widehat{BDM} =\widehat{CEM}$
b, Tứ giác ADFE có: $\displaystyle \widehat{BAC} +\widehat{ADF} +\widehat{DFE} +\widehat{AEF} =360^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BAC} +90^{0} +\widehat{DFE} +90^{0} =360^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BAC} +\widehat{DFE} =180^{0}$
Xét (O) có: $\displaystyle \widehat{BAC} =\widehat{BCF}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung)
Do đó $\displaystyle \widehat{BCF} +\widehat{DFE} =180^{0}$
Tứ giác CMFE nội tiếp đường tròn$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BCF} =\widehat{FEM}$
Do đó $\displaystyle \widehat{FEM} +\widehat{DFE} =180^{0}$
Mà 2 góc này nằm ở vị trí trong cùng phía
Do đó $\displaystyle DF\parallel EM$
Mà $\displaystyle DF\bot AB$
Do đó $\displaystyle EM\bot AB$

Timi · Answer

a) Ta có: $\widehat{FBD}=\widehat{FCB}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây)
$\widehat{FCE}=\widehat{FBC}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây)
$\widehat{FBD}+\widehat{FCE}=180^\circ$ (cặp góc trong cùng phía)
Suy ra $\widehat{FCB}+\widehat{FBC}=180^\circ$ 
$\widehat{FDB}=\widehat{FEB}=90^\circ$ nên tứ giác FBED nội tiếp.
Suy ra $\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$ (cùng chắn cung BF)
b) Ta có $\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$ (chứng minh trên)
$\widehat{CEM}+\widehat{ECA}=90^\circ$ (góc vuông)
Suy ra $\widehat{BDM}+\widehat{ECA}=90^\circ$ 
Mà $\widehat{BDM}+\widehat{MDB}=90^\circ$ nên $\widehat{MDB}=\widehat{ECA}$
Ta có $\widehat{MDB}=\widehat{MDC}$ (M là trung điểm của BC)
Suy ra $\widehat{MDC}=\widehat{ECA}$
Suy ra $EM\perp AB$ (giao của đường thẳng với đường tròn)
c) Ta có $\widehat{BDM}=\widehat{CEM}$ (chứng minh trên)
$\widehat{DBM}=\widehat{ECM}$ (cùng phụ với $\widehat{MBC}$)
Suy ra $\Delta DBM=\Delta ECM$ (góc - cạnh - góc)
Suy ra $\frac{DM}{EM}=\frac{BM}{CM}$
Mà $BM=CM$ nên $DM=EM$
Suy ra $AB.DM=AC.EM$