cần lm hộ ạ

Để tính xác suất của các biến cố, ta sẽ dựa trên số lượng phiếu có phần thưởng và tổng số phiếu trong hộp. a) Xác suất của biến cố A: "Bạn Hoa rút thăm được phiếu có phần thưởng bút bi". - Số phiếu trúng thưởng bút bi là 10. - Tổng số phiếu trong hộp là 40. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số phiếu trúng thưởng bút bi}}{\text{tổng số phiếu}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \] b) Xác suất của biến cố B: "Bạn Hoa rút thăm được phiếu có phần thưởng". - Số phiếu trúng thưởng bút bi là 10. - Số phiếu trúng thưởng vở ghi là 5. - Tổng số phiếu có phần thưởng là 10 + 5 = 15. - Tổng số phiếu trong hộp là 40. Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số phiếu có phần thưởng}}{\text{tổng số phiếu}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} \] Đáp số: a) \( P(A) = \frac{1}{4} \) b) \( P(B) = \frac{3}{8} \) Câu 2 a) Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức: - Phân thức đầu tiên đã ở dạng đơn giản: \( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \) - Phân thức thứ hai: \[ x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1 = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1 \] Nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1 = (\sqrt{x} + 1)(x + 1) \] Do đó: \[ \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1} = \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(x + 1)} \] Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(x + 1)} \] Tìm mẫu chung và cộng hai phân thức: \[ P = \frac{(x + 1) + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(x + 1)} = \frac{x + 1 + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(x + 1)} \] Nhận thấy rằng: \[ x + 1 + 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1)^2 \] Do đó: \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)(x + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} \] b) Chứng minh \( P < 2 \) với mọi số thực \( x \geq 0 \): Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} \] Chúng ta cần chứng minh: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} < 2 \] Nhân cả hai vế với \( x + 1 \) (vì \( x + 1 > 0 \)): \[ \sqrt{x} + 1 < 2(x + 1) \] Phát triển và sắp xếp lại: \[ \sqrt{x} + 1 < 2x + 2 \] \[ \sqrt{x} < 2x + 1 \] Với \( x \geq 0 \), ta thấy rằng \( \sqrt{x} \leq x \) (vì \( \sqrt{x} \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng \( x \) khi \( x \geq 1 \)). Do đó: \[ \sqrt{x} < 2x + 1 \] Điều này luôn đúng vì \( 2x + 1 \) luôn lớn hơn \( \sqrt{x} \) khi \( x \geq 0 \). Vậy, ta đã chứng minh được \( P < 2 \) với mọi số thực \( x \geq 0 \).