cảm ơn mhieeif

Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của bán nguyệt: Bán kính \( R \) của bán nguyệt là: \[ R = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm} \] 2. Xác định diện tích của tấm thép hình chữ nhật: Gọi chiều dài của tấm thép hình chữ nhật là \( x \) và chiều rộng là \( y \). Diện tích \( S \) của tấm thép hình chữ nhật là: \[ S = x \cdot y \] 3. Liên hệ giữa \( x \) và \( y \): Vì tấm thép hình chữ nhật nằm trong bán nguyệt, nên điểm đỉnh của tấm thép hình chữ nhật nằm trên bán nguyệt. Ta có: \[ y = \sqrt{R^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{400 - \frac{x^2}{4}} \] 4. Biểu diễn diện tích \( S \) theo \( x \): Thay \( y \) vào công thức diện tích: \[ S = x \cdot \sqrt{400 - \frac{x^2}{4}} \] Nhân cả tử và mẫu trong căn với 4 để đơn giản hóa: \[ S = x \cdot \sqrt{400 - \frac{x^2}{4}} = x \cdot \sqrt{\frac{1600 - x^2}{4}} = \frac{x \cdot \sqrt{1600 - x^2}}{2} \] 5. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích \( S \): Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta sử dụng đạo hàm. Gọi \( f(x) = \frac{x \cdot \sqrt{1600 - x^2}}{2} \). Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f(x) = \frac{x \cdot \sqrt{1600 - x^2}}{2} \] Áp dụng quy tắc nhân và chuỗi: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1600 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1600 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1600 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1600 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1600 - x^2 - x^2}{\sqrt{1600 - x^2}} \right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1600 - 2x^2}{\sqrt{1600 - x^2}} \right) \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{1600 - 2x^2}{\sqrt{1600 - x^2}} = 0 \] \[ 1600 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 1600 \] \[ x^2 = 800 \] \[ x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \] 6. Tính diện tích lớn nhất: Thay \( x = 20\sqrt{2} \) vào biểu thức diện tích: \[ y = \sqrt{400 - \frac{(20\sqrt{2})^2}{4}} = \sqrt{400 - \frac{800}{4}} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] \[ S = x \cdot y = 20\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2} = 200 \cdot 2 = 400 \text{ cm}^2 \] Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tấm thép hình chữ nhật là \( 400 \text{ cm}^2 \). Câu 18: Để tìm khoảng cách mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm bay ngược chiều gió khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời điểm \( t \) khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ: Ta có công thức vận tốc \( v(t) = 30(16 - t^2) \). Đặt \( v(t) = 400 \): \[ 30(16 - t^2) = 400 \] Chia cả hai vế cho 30: \[ 16 - t^2 = \frac{400}{30} = \frac{40}{3} \] Di chuyển \( \frac{40}{3} \) sang vế trái: \[ 16 - \frac{40}{3} = t^2 \] Quy đồng và tính: \[ \frac{48}{3} - \frac{40}{3} = t^2 \implies \frac{8}{3} = t^2 \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 8 = 3t^2 \implies t^2 = \frac{8}{3} \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ t = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \] 2. Tính khoảng cách máy bay đã đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \frac{2\sqrt{6}}{3} \): Khoảng cách \( s \) máy bay đã đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \frac{2\sqrt{6}}{3} \) là: \[ s = \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} v(t) \, dt = \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} 30(16 - t^2) \, dt \] Tách tích phân: \[ s = 30 \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} (16 - t^2) \, dt \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} 16 \, dt = 16t \Bigg|_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = 16 \left( \frac{2\sqrt{6}}{3} \right) = \frac{32\sqrt{6}}{3} \] \[ \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} \Bigg|_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\sqrt{6}}{3} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{8 \cdot 6 \sqrt{6}}{27} = \frac{16\sqrt{6}}{27} \] Kết hợp lại: \[ s = 30 \left( \frac{32\sqrt{6}}{3} - \frac{16\sqrt{6}}{27} \right) \] Quy đồng và tính: \[ s = 30 \left( \frac{288\sqrt{6}}{27} - \frac{16\sqrt{6}}{27} \right) = 30 \left( \frac{272\sqrt{6}}{27} \right) = \frac{8160\sqrt{6}}{27} = \frac{2720\sqrt{6}}{9} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ \frac{2720\sqrt{6}}{9} \approx 712 \text{ dặm} \] Vậy khoảng cách mà máy bay đã đi được kể từ thời điểm bay ngược chiều gió khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ là khoảng 712 dặm. Câu 19: Để tính tỉ số của khoảng tử phân vị và khoảng biến thiên của câu mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng biến thiên của câu mẫu số liệu: - Cân nặng tối thiểu: 75 gam - Cân nặng tối đa: 100 gam Khoảng biến thiên = Cân nặng tối đa - Cân nặng tối thiểu = 100 - 75 = 25 gam 2. Xác định khoảng tử phân vị: - Tử phân vị là khoảng giữa hai giá trị ở phần tử phân vị thứ 25% và phần tử phân vị thứ 75%. Ta có tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: - [75; 80): 25% - [80; 85): 35% - [85; 90): 25% - [90; 95): 10% - [95; 100): 5% Tổng tần số tương đối là 100%. Phần tử phân vị thứ 25% nằm trong nhóm [75; 80). Phần tử phân vị thứ 75% nằm trong nhóm [85; 90). Khoảng tử phân vị = Giá trị phần tử phân vị thứ 75% - Giá trị phần tử phân vị thứ 25% = 90 - 80 = 10 gam 3. Tính tỉ số của khoảng tử phân vị và khoảng biến thiên: Tỉ số = Khoảng tử phân vị : Khoảng biến thiên = 10 : 25 = 0.4 Vậy tỉ số của khoảng tử phân vị và khoảng biến thiên của câu mẫu số liệu ghép nhóm là 0.4. Câu 20: Xác suất để Phú lấy được viên bi màu xanh là: \[ P_1 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Nếu Phú lấy được viên bi màu xanh, thì trong hộp còn lại 9 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Xác suất để Thọ lấy ra 3 viên bi đều có đủ hai màu là: \[ P_2 = \frac{\binom{9}{1} \cdot \binom{5}{2} + \binom{9}{2} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{14}{3}} = \frac{9 \cdot 10 + 36 \cdot 5}{364} = \frac{270}{364} = \frac{135}{182} \] Xác suất để Phú lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ hai màu là: \[ P = \frac{P_1 \cdot P_2}{P_1 \cdot P_2 + (1 - P_1) \cdot 0} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{135}{182}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{135}{182}} = 1 \] Đáp số: 1 Câu 21: Để biểu thức $S=2MA+|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm $M(a;b;0)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $S$ nhỏ nhất. Trước tiên, ta tính các đoạn thẳng $MA$, $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$: - $MA = \sqrt{(a + 1)^2 + (b - 1)^2 + 2^2}$ - $\overrightarrow{MB} = (3 - a, 2 - b, 2)$ - $\overrightarrow{MC} = (-1 - a, 6 - b, 0)$ Tính tổng véc-tơ $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$: \[ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = ((3 - a) + (-1 - a), (2 - b) + (6 - b), 2 + 0) = (2 - 2a, 8 - 2b, 2) \] Tính độ dài của véc-tơ này: \[ |\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{(2 - 2a)^2 + (8 - 2b)^2 + 2^2} \] Biểu thức $S$ trở thành: \[ S = 2 \sqrt{(a + 1)^2 + (b - 1)^2 + 4} + \sqrt{(2 - 2a)^2 + (8 - 2b)^2 + 4} \] Để tối ưu hóa $S$, ta cần tìm điểm $M$ sao cho tổng các khoảng cách từ $M$ đến các điểm cố định là nhỏ nhất. Ta nhận thấy rằng $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ nằm trên đường thẳng nối giữa hai điểm trung bình của các véc-tơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$. Ta tính trung điểm của $B$ và $C$: \[ D = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{2 + 6}{2}, \frac{2 + 0}{2}\right) = (1, 4, 1) \] Do đó, ta cần tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A$ và $D$ là nhỏ nhất. Ta nhận thấy rằng $M$ sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa $A$ và $D$. Phương trình đường thẳng qua $A(-1, 1, 2)$ và $D(1, 4, 1)$ trong mặt phẳng $(Oxy)$ là: \[ \frac{x + 1}{1 + 1} = \frac{y - 1}{4 - 1} \Rightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{3} \Rightarrow y = \frac{3}{2}(x + 1) + 1 \] Để tối ưu hóa $S$, ta cần tìm điểm $M$ trên đường thẳng này sao cho $z = 0$. Do đó, ta thay $z = 0$ vào phương trình đường thẳng: \[ y = \frac{3}{2}(x + 1) + 1 \] Ta cần tìm giá trị của $x$ và $y$ sao cho $S$ nhỏ nhất. Ta thử các giá trị gần gũi để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$. Sau khi thử các giá trị, ta nhận thấy rằng giá trị nhỏ nhất của $S$ đạt được khi $x = 0$ và $y = 2.5$. Vậy $a = 0$ và $b = 2.5$, do đó: \[ a + b = 0 + 2.5 = 2.5 \] Đáp số: $a + b = 2.5$ Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$. 2. Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(\alpha)$. 3. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách này. 4. Tính bán kính của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B, C, A', B', C'. Bước 1: Xác định phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa B'C và song song với AC'. Ta có: - B'C có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{B'C} = (a, 1, -b)$. - AC' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC'} = (-a, 1, b)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả $\overrightarrow{B'C}$ và $\overrightarrow{AC'}$. Ta tính $\overrightarrow{n}$ bằng tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{B'C} \times \overrightarrow{AC'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 1 & -b \\ -a & 1 & b \end{vmatrix} = (2b, 0, 2a) \] Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ 2bx + 2az = d \] Vì $(\alpha)$ đi qua điểm B'(−a, 0, b), thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 2b(-a) + 2ab = d \implies d = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ 2bx + 2az = 0 \implies bx + az = 0 \] Bước 2: Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(\alpha)$ Khoảng cách từ điểm A(a, 0, 0) đến mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ d(A, (\alpha)) = \frac{|ba + 0 + 0|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách này Ta cần tối đa hóa biểu thức: \[ f(a, b) = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng phương pháp Lagrange để tối đa hóa f(a, b) dưới ràng buộc a + b = 4. Xét hàm: \[ L(a, b, \lambda) = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \lambda (a + b - 4) \] Tính đạo hàm riêng: \[ \frac{\partial L}{\partial a} = \frac{b\sqrt{a^2 + b^2} - ab \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}}{a^2 + b^2} + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial b} = \frac{a\sqrt{a^2 + b^2} - ab \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}}{a^2 + b^2} + \lambda = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = a + b - 4 = 0 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được a = b = 2. Bước 4: Tính bán kính của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B, C, A', B', C' Khi a = b = 2, ta có: \[ A(2, 0, 0),~B(-2, 0, 0),~C(0, 1, 0),~B^\prime(-2, 0, 2) \] Mặt cầu đi qua sáu điểm này có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh đối diện của lăng trụ đứng, tức là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa A và B'. Tọa độ tâm mặt cầu: \[ O = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}\right) = (0, 0, 1) \] Bán kính mặt cầu: \[ R = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24 \] Vậy bán kính của mặt cầu là: \[ \boxed{2.24} \]