giúp mình với

Câu 1. a) Giải phương trình $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2; x \neq 3$. Quy đồng mẫu số hai vế: $\frac{2(x-3)-3(x-2)}{(x-3)(x-2)}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ $\frac{2x-6-3x+6}{(x-3)(x-2)}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ $\frac{-x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ Từ đây ta có: $-x = 3x - 20$ $x + 3x = 20$ $4x = 20$ $x = 5$ Kiểm tra lại điều kiện xác định, $x = 5$ thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$. b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x + 2y = 5 \\ 2x + 3y = 8\end{array}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 2: $2x + 4y = 10$ Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai: $(2x + 4y) - (2x + 3y) = 10 - 8$ $y = 2$ Thay $y = 2$ vào phương trình đầu tiên: $x + 2(2) = 5$ $x + 4 = 5$ $x = 1$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (1, 2)$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn M Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4; x \neq -\frac{3}{4} \) Ta có: \[ M = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4x}{4 - x} \right) : \frac{3x + 4}{\sqrt{x} + 2} \] Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phân thức trong ngoặc đơn: 1. Rút gọn \(\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}\): \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \] 2. Rút gọn \(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}\): \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} \] 3. Rút gọn \(\frac{4x}{4 - x}\): \[ \frac{4x}{4 - x} \] Bây giờ, ta cộng các phân thức này lại: \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4x}{4 - x} \] Tìm mẫu chung của ba phân thức trên: \[ \text{Mẫu chung} = (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)(4 - x) \] Rút gọn biểu thức: \[ \frac{(\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x} + 2)^2 - 4x(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)(4 - x)} \] Phân tích và rút gọn: \[ (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4 \] \[ (\sqrt{x} + 2)^2 = x + 4\sqrt{x} + 4 \] Do đó: \[ x - 4\sqrt{x} + 4 + x + 4\sqrt{x} + 4 - 4x(\sqrt{x} + 2) = 2x + 8 - 4x(\sqrt{x} + 2) \] Tiếp theo, ta chia biểu thức này cho \(\frac{3x + 4}{\sqrt{x} + 2}\): \[ M = \frac{2x + 8 - 4x(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)(4 - x)} \times \frac{\sqrt{x} + 2}{3x + 4} \] Rút gọn: \[ M = \frac{2x + 8 - 4x(\sqrt{x} + 2)}{(3x + 4)(\sqrt{x} - 2)(4 - x)} \] b) Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên Để M có giá trị nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức trên là số nguyên. Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0; x \neq 4; x \neq -\frac{3}{4} \): - Kiểm tra x = 0: \[ M = \frac{2(0) + 8 - 4(0)(\sqrt{0} + 2)}{(3(0) + 4)(\sqrt{0} - 2)(4 - 0)} = \frac{8}{4(-2)(4)} = \frac{8}{-32} = -\frac{1}{4} \] (không là số nguyên) - Kiểm tra x = 1: \[ M = \frac{2(1) + 8 - 4(1)(\sqrt{1} + 2)}{(3(1) + 4)(\sqrt{1} - 2)(4 - 1)} = \frac{2 + 8 - 4(1 + 2)}{(3 + 4)(1 - 2)(3)} = \frac{10 - 12}{7(-1)(3)} = \frac{-2}{-21} = \frac{2}{21} \] (không là số nguyên) - Kiểm tra x = 2: \[ M = \frac{2(2) + 8 - 4(2)(\sqrt{2} + 2)}{(3(2) + 4)(\sqrt{2} - 2)(4 - 2)} = \frac{4 + 8 - 8(\sqrt{2} + 2)}{(6 + 4)(\sqrt{2} - 2)(2)} = \frac{12 - 8\sqrt{2} - 16}{10(\sqrt{2} - 2)(2)} = \frac{-4 - 8\sqrt{2}}{20(\sqrt{2} - 2)} \] (không là số nguyên) - Kiểm tra x = 3: \[ M = \frac{2(3) + 8 - 4(3)(\sqrt{3} + 2)}{(3(3) + 4)(\sqrt{3} - 2)(4 - 3)} = \frac{6 + 8 - 12(\sqrt{3} + 2)}{(9 + 4)(\sqrt{3} - 2)(1)} = \frac{14 - 12\sqrt{3} - 24}{13(\sqrt{3} - 2)} = \frac{-10 - 12\sqrt{3}}{13(\sqrt{3} - 2)} \] (không là số nguyên) - Kiểm tra x = 5: \[ M = \frac{2(5) + 8 - 4(5)(\sqrt{5} + 2)}{(3(5) + 4)(\sqrt{5} - 2)(4 - 5)} = \frac{10 + 8 - 20(\sqrt{5} + 2)}{(15 + 4)(\sqrt{5} - 2)(-1)} = \frac{18 - 20\sqrt{5} - 40}{19(\sqrt{5} - 2)(-1)} = \frac{-22 - 20\sqrt{5}}{-19(\sqrt{5} - 2)} = \frac{22 + 20\sqrt{5}}{19(\sqrt{5} - 2)} \] (không là số nguyên) Vậy không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện để M có giá trị nguyên. Câu 3. a) Thay $m=3$ vào phương trình, ta được: \[ x^2 - 2(3+1)x + 3^2 + 3 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \] Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6$ hoặc $x = 2$. b) Để phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1| + |x_2| = 10$, ta cần xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Cả hai nghiệm đều dương ($x_1 > 0$ và $x_2 > 0$) Trường hợp 2: Một nghiệm dương và một nghiệm âm ($x_1 > 0$ và $x_2 < 0$ hoặc ngược lại) Trường hợp 3: Cả hai nghiệm đều âm ($x_1 < 0$ và $x_2 < 0$) Ta sẽ xét từng trường hợp: Trường hợp 1: Cả hai nghiệm đều dương \[ x_1 + x_2 = 10 \] Theo định lý Viète: \[ x_1 + x_2 = 2(m+1) \] \[ 2(m+1) = 10 \] \[ m+1 = 5 \] \[ m = 4 \] Kiểm tra: \[ x^2 - 2(4+1)x + 4^2 + 3 = 0 \] \[ x^2 - 10x + 19 = 0 \] \[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 100 - 76 = 24 \] \[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6} \] Cả hai nghiệm đều dương, thỏa mãn $|x_1| + |x_2| = 10$. Trường hợp 2: Một nghiệm dương và một nghiệm âm \[ |x_1| + |x_2| = 10 \] \[ x_1 - x_2 = 10 \text{ hoặc } x_2 - x_1 = 10 \] Trường hợp 3: Cả hai nghiệm đều âm \[ -(x_1 + x_2) = 10 \] \[ x_1 + x_2 = -10 \] Theo định lý Viète: \[ x_1 + x_2 = 2(m+1) \] \[ 2(m+1) = -10 \] \[ m+1 = -5 \] \[ m = -6 \] Kiểm tra: \[ x^2 - 2(-6+1)x + (-6)^2 + 3 = 0 \] \[ x^2 + 10x + 39 = 0 \] \[ \Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 39 = 100 - 156 = -56 \] Phương trình vô nghiệm, không thỏa mãn. Vậy giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1| + |x_2| = 10$ là $m = 4$. Câu 4. Gọi vận tốc của ô tô du lịch là \( v_{du} \) (km/h, điều kiện: \( v_{du} > 0 \)). Gọi vận tốc của ô tô tải là \( v_{tai} \) (km/h, điều kiện: \( v_{tai} > 0 \)). Theo đề bài, ta có: \[ v_{du} = v_{tai} + 20 \] Thời gian ô tô du lịch đã đi trước là 17 phút, tức là: \[ \frac{17}{60} \text{ giờ} \] Khi hai xe gặp nhau, tổng thời gian cả hai xe đã đi là: \[ \frac{17}{60} + 28 \times \frac{1}{60} = \frac{17}{60} + \frac{28}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \text{ giờ} \] Quãng đường AB dài 88 km, nên tổng quãng đường hai xe đã đi là 88 km. Ta có phương trình: \[ v_{du} \times \frac{3}{4} + v_{tai} \times \frac{3}{4} = 88 \] Thay \( v_{du} = v_{tai} + 20 \) vào phương trình trên: \[ (v_{tai} + 20) \times \frac{3}{4} + v_{tai} \times \frac{3}{4} = 88 \] \[ \frac{3}{4} v_{tai} + 15 + \frac{3}{4} v_{tai} = 88 \] \[ \frac{3}{2} v_{tai} + 15 = 88 \] \[ \frac{3}{2} v_{tai} = 73 \] \[ v_{tai} = 73 \times \frac{2}{3} \] \[ v_{tai} = 48.67 \text{ km/h} \] Vận tốc của ô tô du lịch là: \[ v_{du} = v_{tai} + 20 \] \[ v_{du} = 48.67 + 20 \] \[ v_{du} = 68.67 \text{ km/h} \] Đáp số: - Vận tốc của ô tô du lịch: 68.67 km/h - Vận tốc của ô tô tải: 48.67 km/h Câu 5. a) Ta có $\widehat{BFE}=\widehat{BAE}$ (cùng chắn cung BE) $\widehat{BCE}=\widehat{BAE}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE) $\Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ $\Rightarrow BEFI$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có cặp góc đối bằng nhau) b) Ta có $\widehat{AIF}=\widehat{KIB}$ (đối đỉnh) $\widehat{IAF}=\widehat{IBK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung IF) $\Rightarrow \Delta AIF\backsim \Delta KIB$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AI}{IK}=\frac{AF}{BK}$ Mà I là trung điểm OA nên AI = $\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}$ F là trung điểm IC nên AF = $\frac{AC}{2}$ Ta có $\widehat{ABC}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow AC=R$ (cạnh huyền của tam giác vuông ABC có 1 góc 30^{\circ}) $\Rightarrow AF=\frac{R}{2}$ Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=45^{\circ}$ (AB là tiếp tuyến, $\widehat{ABD}$ là góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\Rightarrow BD=AB=R$ $\Rightarrow BK=BD+DK=R+R=2R$ Thay vào ta có: $\frac{\frac{R}{2}}{IK}=\frac{\frac{R}{2}}{2R}$ $\Rightarrow IK=2R$