giải giúp vs ạ

Câu 1: Để tính giá trị của $F(2)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Nguyên hàm của $f(x) = 2x + 4$ là: \[ F(x) = \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(0) = 0$. Thay $x = 0$ vào $F(x)$: \[ F(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + C = 0 \] \[ C = 0 \] Do đó, nguyên hàm cụ thể của $f(x)$ là: \[ F(x) = x^2 + 4x \] Bước 3: Tính giá trị của $F(2)$. Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 \] Vậy giá trị của $F(2)$ là: \[ F(2) = 12 \] Câu 2: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: Hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành nằm trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \). 2. Tính diện tích bằng tích phân: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số \( y = x^2 + 1 \) luôn dương trên khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \), nên ta có: \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta tính tích phân của hàm số \( x^2 + 1 \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \): \[ \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{2} \] Thay cận vào: \[ \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) \] \[ = \frac{14}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ = \frac{14}{3} + \frac{4}{3} \] \[ = \frac{18}{3} \] \[ = 6 \] Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành là \( 6 \) đơn vị diện tích. Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức hàm số: \[ f(x) = \frac{x^3 + 2}{x} = \frac{x^3}{x} + \frac{2}{x} = x^2 + \frac{2}{x}. \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của $x^2$ là $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1$. - Nguyên hàm của $\frac{2}{x}$ là $\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| + C_2$. Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2 \ln |x| + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy, nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$ là: \[ \frac{x^3}{3} + 2 \ln |x| + C. \] Câu 2: Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo là: \[ S = \int_{0}^{1} (x^2 - x) dx + \int_{1}^{2} (x - x^2) dx \] \[ = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2})|_{0}^{1} + (\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_{1}^{2} \] \[ = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - 0 + (\frac{4}{2} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \] \[ = \frac{-1}{6} + 2 - \frac{8}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \] \[ = 2 - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \] \[ = 2 - \frac{7}{3} - \frac{2}{6} \] \[ = 2 - \frac{14}{6} - \frac{2}{6} \] \[ = 2 - \frac{16}{6} \] \[ = 2 - \frac{8}{3} \] \[ = \frac{6}{3} - \frac{8}{3} \] \[ = \frac{-2}{3} \] \[ = \frac{2}{3} \] Vậy diện tích phần hình phẳng được gạch chéo là $\frac{2}{3}$ đơn vị diện tích.