Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí A(2;3). Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng A có phương trình x - y -3 = 0. Biết rằng máy thu đặt tại vị...

Câu 4. Để máy thu tín hiệu nhận được tín hiệu sớm nhất, điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng x - y - 3 = 0. Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng qua A(2;3) và vuông góc với đường thẳng x - y - 3 = 0. Đường thẳng x - y - 3 = 0 có hệ số góc là 1. Đường thẳng vuông góc với nó sẽ có hệ số góc là -1 (vì tích của hai hệ số góc là -1). Phương trình đường thẳng qua A(2;3) và có hệ số góc là -1 là: \[ y - 3 = -1(x - 2) \] \[ y - 3 = -x + 2 \] \[ y = -x + 5 \] Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng x - y - 3 = 0 và y = -x + 5. Thay y = -x + 5 vào phương trình x - y - 3 = 0: \[ x - (-x + 5) - 3 = 0 \] \[ x + x - 5 - 3 = 0 \] \[ 2x - 8 = 0 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \] Thay x = 4 vào y = -x + 5: \[ y = -4 + 5 \] \[ y = 1 \] Vậy giao điểm là M(4;1). Bước 3: Tính giá trị của biểu thức S = a + 2025b. Ở đây, a = 4 và b = 1, nên: \[ S = 4 + 2025 \times 1 \] \[ S = 4 + 2025 \] \[ S = 2029 \] Đáp số: S = 2029. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton và tính chất của tổng các hệ số trong khai triển nhị thức. Bước 1: Xác định biểu thức đã cho Biểu thức đã cho là: \[ C_n^0 + 4C_n^1 + 4^2C_n^2 + ... + 4^nC_n^n = 15625 \] Bước 2: Nhận biết dạng tổng Nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng tổng của các hệ số trong khai triển nhị thức \((1 + 4)^n\): \[ (1 + 4)^n = 1^n + 4C_n^1 + 4^2C_n^2 + ... + 4^nC_n^n \] Bước 3: Áp dụng công thức nhị thức Newton Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (1 + 4)^n = 5^n \] Bước 4: So sánh với giá trị đã cho Ta có: \[ 5^n = 15625 \] Bước 5: Tìm giá trị của \( n \) Ta nhận thấy rằng: \[ 15625 = 5^6 \] Do đó: \[ n = 6 \] Vậy, giá trị của \( n \) là 6. Đáp số: \( n = 6 \). Câu 6: Để tìm điểm \( N(a, b) \) thuộc đồ thị \( y = 1 + 2t \) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến \( N \) nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( N \): - Gọi \( N(a, b) \) là điểm thuộc đồ thị \( y = 1 + 2t \). Do đó, ta có \( b = 1 + 2a \). 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến điểm \( N \): - Khoảng cách từ gốc tọa độ \( O(0, 0) \) đến điểm \( N(a, b) \) là: \[ ON = \sqrt{a^2 + b^2} \] - Thay \( b = 1 + 2a \) vào biểu thức trên, ta có: \[ ON = \sqrt{a^2 + (1 + 2a)^2} = \sqrt{a^2 + 1 + 4a + 4a^2} = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( ON \): - Để khoảng cách \( ON \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 5a^2 + 4a + 1 \). - Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ 5a^2 + 4a + 1 = 5\left(a^2 + \frac{4}{5}a\right) + 1 = 5\left(a^2 + \frac{4}{5}a + \frac{4}{25} - \frac{4}{25}\right) + 1 = 5\left(\left(a + \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{4}{25}\right) + 1 \] \[ = 5\left(a + \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{4}{5} + 1 = 5\left(a + \frac{2}{5}\right)^2 + \frac{1}{5} \] - Biểu thức \( 5\left(a + \frac{2}{5}\right)^2 + \frac{1}{5} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \left(a + \frac{2}{5}\right)^2 = 0 \), tức là khi \( a = -\frac{2}{5} \). 4. Tìm tọa độ của điểm \( N \): - Khi \( a = -\frac{2}{5} \), ta có: \[ b = 1 + 2a = 1 + 2\left(-\frac{2}{5}\right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \] - Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( \left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right) \). 5. Tính \( 5a + 10b \): - Thay \( a = -\frac{2}{5} \) và \( b = \frac{1}{5} \) vào biểu thức \( 5a + 10b \): \[ 5a + 10b = 5\left(-\frac{2}{5}\right) + 10\left(\frac{1}{5}\right) = -2 + 2 = 0 \] Vậy giá trị của \( 5a + 10b \) là \( 0 \). Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần khai triển biểu thức \( x(1 - 2x) + (1 + 2x)' \) và sau đó tìm tổng \( I = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \). Bước 1: Khai triển biểu thức \( x(1 - 2x) + (1 + 2x)' \) Trước tiên, ta tính đạo hàm của \( (1 + 2x)' \): \[ (1 + 2x)' = 2 \] Sau đó, ta khai triển biểu thức: \[ x(1 - 2x) + 2 = x - 2x^2 + 2 \] Bước 2: Xác định các hệ số \( a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \) Ta thấy rằng biểu thức \( x - 2x^2 + 2 \) có dạng: \[ 2 - 2x^2 + x \] Do đó, các hệ số \( a_i \) là: \[ a_0 = 2, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = -2, \quad a_3 = 0, \quad a_4 = 0 \] Bước 3: Tính tổng \( I = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) \[ I = 2 + 1 - 2 + 0 + 0 = 1 \] Vậy, tổng \( I \) là: \[ \boxed{1} \]