Giai chi tiết hộ tôi

a. Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên R. Giá trị của $\int^2_1 [3 + f(x)] dx = 10$ Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta cần tính $\int^2_1 [3 + f(x)] dx$. Ta có: \[ \int^2_1 [3 + f(x)] dx = \int^2_1 3 dx + \int^2_1 f(x) dx \] Tính từng phần: \[ \int^2_1 3 dx = 3 \int^2_1 dx = 3[x]_1^2 = 3(2 - 1) = 3 \] Vì $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nên: \[ \int^2_1 f(x) dx = F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \] Do đó: \[ \int^2_1 [3 + f(x)] dx = 3 + 7 = 10 \] Mệnh đề này là đúng. b. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 - 4x + 3$, $y = 0$ quanh trục hoành bằng $\frac{6\pi}{15}$. Để tính thể tích khối tròn xoay, ta sử dụng công thức: \[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \] Trước tiên, ta tìm giao điểm của $y = x^2 - 4x + 3$ và $y = 0$: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Do đó, giới hạn tích phân là từ $x = 1$ đến $x = 3$. Ta có: \[ V = \pi \int_1^3 (x^2 - 4x + 3)^2 dx \] Tính tích phân: \[ (x^2 - 4x + 3)^2 = x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9 \] Do đó: \[ V = \pi \int_1^3 (x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9) dx \] Tính từng phần: \[ \int_1^3 x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_1^3 = \frac{3^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{243}{5} - \frac{1}{5} = \frac{242}{5} \] \[ \int_1^3 8x^3 dx = 8 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^3 = 2 \left[ x^4 \right]_1^3 = 2(3^4 - 1^4) = 2(81 - 1) = 160 \] \[ \int_1^3 22x^2 dx = 22 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 = \frac{22}{3} \left[ x^3 \right]_1^3 = \frac{22}{3}(3^3 - 1^3) = \frac{22}{3}(27 - 1) = \frac{22}{3} \cdot 26 = \frac{572}{3} \] \[ \int_1^3 24x dx = 24 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = 12 \left[ x^2 \right]_1^3 = 12(3^2 - 1^2) = 12(9 - 1) = 96 \] \[ \int_1^3 9 dx = 9 \left[ x \right]_1^3 = 9(3 - 1) = 18 \] Do đó: \[ V = \pi \left( \frac{242}{5} - 160 + \frac{572}{3} - 96 + 18 \right) \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số: \[ V = \pi \left( \frac{726}{15} - \frac{2400}{15} + \frac{2860}{15} - \frac{1440}{15} + \frac{270}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{726 - 2400 + 2860 - 1440 + 270}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1016}{15} \right) \] \[ V = \frac{1016\pi}{15} \] Mệnh đề này là sai vì thể tích không bằng $\frac{6\pi}{15}$. c. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x$ là $-\cos x + C$ Đây là một kiến thức cơ bản trong tích phân, và nó là đúng. d. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3 - 5\sin x$ thỏa mãn $F(0) = 10$. $F(x) = 3x + 5\cos x - 10$ Để kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này, ta cần tìm nguyên hàm của $f(x) = 3 - 5\sin x$ và kiểm tra điều kiện $F(0) = 10$. Nguyên hàm của $f(x) = 3 - 5\sin x$ là: \[ F(x) = 3x + 5\cos x + C \] Áp dụng điều kiện $F(0) = 10$: \[ F(0) = 3(0) + 5\cos(0) + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] Do đó: \[ F(x) = 3x + 5\cos x + 5 \] Mệnh đề này là sai vì $F(x) = 3x + 5\cos x - 10$ không thỏa mãn điều kiện $F(0) = 10$. Kết luận: a. Đúng b. Sai c. Đúng d. Sai