giúp với ạ bài 48/ Cho 2 đường thẳng d $d_1\left\{\begin{array}lx=\frac13-\frac35t\y=2-\frac14t\end{array} ight.$ và $d_2\left\{\begin{array}lx=3+\frac12t\y=7\end{array} ight.$ Tính góc giữa $d_1$ và $d_2$

Question

giúp với ạ bài 48/ Cho 2 đường thẳng d $d_1\left\{\begin{array}lx=\frac13-\frac35t\y=2-\frac14t\end{array}ight.$ và $d_2\left\{\begin{array}lx=3+\frac12t\y=7\end{array}ight.$ Tính góc giữa $d_1$ và $d_2$

Timi · Accepted Answer

Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $d_1$ có phương trình tham số:
     $$
     d_1: \left\{
     \begin{array}{l}
     x = \frac{1}{3} - \frac{3}{5}t \
     y = 2 - \frac{1}{4}t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u}_1 = \left( -\frac{3}{5}, -\frac{1}{4} \right)$.

- Đường thẳng $d_2$ có phương trình tham số:
     $$
     d_2: \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 3 + \frac{1}{2}t \
     y = 7
     \end{array}
     \right.
     $$
     Vectơ chỉ phương của $d_2$ là $\vec{u}_2 = \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + \left( -\frac{1}{4} \right) \cdot 0 = -\frac{3}{10}
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{\left( -\frac{3}{5} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{144}{400} + \frac{25}{400}} = \sqrt{\frac{169}{400}} = \frac{13}{20}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{-\frac{3}{10}}{\frac{13}{20} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{3}{10}}{\frac{13}{40}} = \frac{-\frac{3}{10}}{\frac{13}{40}} = -\frac{3}{10} \cdot \frac{40}{13} = -\frac{12}{13}
   $$

5. Tính góc $\theta$:
   $$
   \theta = \arccos \left( -\frac{12}{13} \right)
   $$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $\theta = \arccos \left( -\frac{12}{13} \right)$.