Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE,CF cách nhau tại H. Chứng minh rằng a, Tứ giác CEHD nội tiếp b, Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn c, AE.AC...

a)Ta có: $\Delta \mathrm{CHD}$ vuông tại $\mathrm{H}(\mathrm{CF}$ là đường cao)
$\Rightarrow \triangle \mathrm{CHD}$ nội tiếp đường tròn đường kính HC
: $\triangle \mathrm{CEH}$ vuông tại E ( BE là đường cao)
$\Rightarrow \triangle \mathrm{CHE}$ nội tiếp đường tròn đường kính HC
$\Rightarrow \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$ nội tiếp đường tròn đường kính HC
$\Rightarrow$ Tứ giác CDHE nội tiếp
b)Gọi I là trung điếm của $B C$

Ta có:Xét $\triangle B F C$ vuông tại $F$ ( CF là đường cao)
Fl là trung tuyến (I là trung điểm của BC )

$\Rightarrow\left|B=|\mathrm{F}=| \mathrm{E}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right.$
Xét $\triangle \mathrm{BEC}$ vuông tại E ( BE là đường cao)
El là trung tuyến (I là trung điếm của BC )

$\Rightarrow\left|B=|E=| C=\frac{1}{2} B C\right.$

$\Rightarrow B, C, E, F$ cùng $\in$ đường tròn
c)

Xét $\triangle A D C$ vuông tại $D$ và $\triangle A E H$ vuông tại $E$
A chung

$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \triangle \mathrm{AEH} \sim \triangle \mathrm{ADC} \text { (g.g) } \\
& \Rightarrow \frac{A E}{A D}=\frac{A H}{A C} \text { ( các cạnh tương ứng) } \\
& \Rightarrow \mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AH} \text { (đpcm) }
\end{aligned}
$