Giảiiiiii🫶🏻🥺🥺🥺💯

Câu 1. Để tính diện tích của biển quảng cáo, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của hình tròn: Bán kính \( R \) của hình tròn là: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ m} \] 2. Xác định các đoạn thẳng trong tam giác: - Chiều cao \( MH = 2 \text{ m} \) - Ta có \( OM = R - MH = 4 - 2 = 2 \text{ m} \) 3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( OMA \): \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] \[ 4^2 = 2^2 + AM^2 \] \[ 16 = 4 + AM^2 \] \[ AM^2 = 12 \] \[ AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ m} \] 4. Tính diện tích tam giác \( OAB \): \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times AB \times OM = \frac{1}{2} \times (2 \times AM) \times OM = \frac{1}{2} \times (2 \times 2\sqrt{3}) \times 2 = 4\sqrt{3} \text{ m}^2 \] 5. Tính diện tích hình quạt \( OAB \): Góc \( \angle AOB \) là góc ở tâm của hình tròn, ta tính bằng công thức: \[ \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ \angle AOM = 60^\circ \] \[ \angle AOB = 2 \times \angle AOM = 120^\circ \] Diện tích hình quạt \( OAB \): \[ S_{quạt} = \frac{\angle AOB}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 4^2 = \frac{1}{3} \times 16\pi = \frac{16\pi}{3} \text{ m}^2 \] 6. Tính diện tích biển quảng cáo: Diện tích biển quảng cáo là diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác \( OAB \): \[ S_{biển} = S_{quạt} - S_{OAB} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \] 7. Làm tròn kết quả: \[ \frac{16\pi}{3} \approx \frac{16 \times 3.1416}{3} \approx 16.755 \text{ m}^2 \] \[ 4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 \approx 6.928 \text{ m}^2 \] \[ S_{biển} \approx 16.755 - 6.928 \approx 9.827 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích biển quảng cáo là khoảng \( 9.8 \text{ m}^2 \). Câu 2. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(2, 7, 1) \) - \( B(-2, 3, 3) \) Thay tọa độ của hai điểm vào công thức: \[ AB = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (3 - 7)^2 + (3 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 2^2} \] \[ AB = \sqrt{16 + 16 + 4} \] \[ AB = \sqrt{36} \] \[ AB = 6 \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 6. Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1; -2; -3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 19 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, -2, -3) \) - \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 2 \), \( d = -19 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot (-3) - 19|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|2 + 2 - 6 - 19|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \] \[ d = \frac{|-21|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{21}{3} \] \[ d = 7 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1; -2; -3) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 19 = 0 \) là 7 đơn vị. Câu 4. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số: \[ \frac{x-2}{-\sqrt{2}} = \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{z+1}{2} \] Từ đây, ta có vectơ chỉ phương của $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2) \] 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$: Đường thẳng $d$ có dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2}t \\ y = 3 + \sqrt{2}t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Từ đây, ta có vectơ chỉ phương của $d$ là: \[ \vec{v} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot 2 = -2 + 2 + 4 = 4 \] 4. Tính độ dài của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] 6. Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $60^\circ$. Câu 5. Để kiểm tra xem các điểm A, B, C, D có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. 1. Kiểm tra điểm A(1; -2; 3): - Thay vào phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 1 + 2t \\ -2 = -2 - 2t \\ 3 = 3 - t \end{array} \right. \] - Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 = 2t \\ 0 = -2t \\ 0 = -t \end{array} \right. \] Ta thấy $t = 0$ thỏa mãn tất cả các phương trình. Vậy điểm A thuộc đường thẳng $\Delta$. 2. Kiểm tra điểm B(3; -4; 2): - Thay vào phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3 = 1 + 2t \\ -4 = -2 - 2t \\ 2 = 3 - t \end{array} \right. \] - Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2 = 2t \\ -2 = -2t \\ -1 = -t \end{array} \right. \] Ta thấy $t = 1$ thỏa mãn tất cả các phương trình. Vậy điểm B thuộc đường thẳng $\Delta$. 3. Kiểm tra điểm C(5; -6; 1): - Thay vào phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5 = 1 + 2t \\ -6 = -2 - 2t \\ 1 = 3 - t \end{array} \right. \] - Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4 = 2t \\ -4 = -2t \\ -2 = -t \end{array} \right. \] Ta thấy $t = 2$ thỏa mãn tất cả các phương trình. Vậy điểm C thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Kiểm tra điểm D(-3; 2; 2): - Thay vào phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -3 = 1 + 2t \\ 2 = -2 - 2t \\ 2 = 3 - t \end{array} \right. \] - Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -4 = 2t \\ 4 = -2t \\ -1 = -t \end{array} \right. \] Ta thấy $t = -2$ thỏa mãn tất cả các phương trình. Vậy điểm D thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết luận: Tất cả các điểm A, B, C, D đều thuộc đường thẳng $\Delta$. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M, N, P và sau đó tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng (P) - Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(9;0;0), N(0;-9;0), P(0;0;0,9). - Ta viết phương trình mặt phẳng (P) dưới dạng chung: \(ax + by + cz = d\). Ta thay tọa độ của ba điểm vào phương trình mặt phẳng: - Thay M(9;0;0): \(9a = d\) - Thay N(0;-9;0): \(-9b = d\) - Thay P(0;0;0,9): \(0,9c = d\) Từ đây, ta có: \[ d = 9a = -9b = 0,9c \] Chọn \(d = 9\), ta có: \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c = 10 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ x - y + 10z = 9 \] Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) - Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(3;-2,5;0,5) và B(3;7,5;0). - Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ x = 3 \] \[ y = -2,5 + t(7,5 + 2,5) = -2,5 + 10t \] \[ z = 0,5 - 0,5t \] Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 3 - (-2,5 + 10t) + 10(0,5 - 0,5t) = 9 \] \[ 3 + 2,5 - 10t + 5 - 5t = 9 \] \[ 10,5 - 15t = 9 \] \[ 1,5 = 15t \] \[ t = \frac{1,5}{15} = 0,1 \] Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm - Thay \(t = 0,1\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ x = 3 \] \[ y = -2,5 + 10 \cdot 0,1 = -2,5 + 1 = -1,5 \] \[ z = 0,5 - 0,5 \cdot 0,1 = 0,5 - 0,05 = 0,45 \] Vậy tọa độ giao điểm là (3; -1,5; 0,45). Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là 0,45 km. Đáp số: 0,45 km.