trả lời câu hỏi Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;-2;0),~C(0;0;1)$ Khoảng cách,từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (ABC) bằng,$A.~\frac13.$ $B.~-\frac23.$ $C.~\frac23.$ $D.~\frac2{\sqrt7}.$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1;-1),~B(3;0;1),~C(2;-1;3).$ Một vectơ,pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là,$A.~\overrightarrow n_1=(0;-4;-2).$ $B.~\overrightarrow n_2=(0;4;-2).$ $C.~\overrightarrow n_2=(1;-1;2).$ $D.~\overrightarrow n_4=(0;-2;4).$,B. Phương trình đường thẳng trong không gian,Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2t\z=3-t.\end{array} ight.$,Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta?$,$A.~\overrightarrow u_1=(1;-2;3).$ $B.~\overrightarrow u_2=(1;2;-1).$ $C.~\overrightarrow u_3=(1;2;1).$ $D.~\overrightarrow u_4=(2;0;2).$,Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2t~(t\in\mathbb R).\z=3-t\end{array} ight.$,Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng 2 $\Delta?$,$A.~M(1;2;-1).$ $B.~N(2;0;2).$ $C.~P(-1;2;5).$ $D.~Q(1;-2;2).$,Câu 15. Cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-t~(t\in\mathbb R)\z=1\end{array} ight.$ và $d^\prime:\frac{x-1}1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{-2}.$,Khẳng định nào sau đây đúng?,A. d, d' song song với nhau. B. d, d' chéo nhau.,C. d, d' trùng nhau. D. d, d' cắt nhau.,Câu 16. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và,$B(2;3;-2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+t\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=-1\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2\y=3\z=-1-t\end{array} ight.~(t\in\mathbb R).$,$C.\left\{\begin{array}lx=2\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=-1+t\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+t\y=3~(t\in\mathbb R).\z=-1+t\end{array} ight.$,Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(\alpha):~2x+2y+z=0$ và $(\beta):~x+z+\sqrt3=0$,Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và (B) là,$A.~30^0.$ $B.~90^0.$ $C.~45^0.$ $D.~60^0.$,40

Question

trả lời câu hỏi Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;-2;0),~C(0;0;1)$ Khoảng cách,từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (ABC) bằng,$A.~\frac13.$ $B.~-\frac23.$ $C.~\frac23.$ $D.~\frac2{\sqrt7}.$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1;-1),~B(3;0;1),~C(2;-1;3).$ Một vectơ,pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là,$A.~\overrightarrow n_1=(0;-4;-2).$ $B.~\overrightarrow n_2=(0;4;-2).$ $C.~\overrightarrow n_2=(1;-1;2).$ $D.~\overrightarrow n_4=(0;-2;4).$,B. Phương trình đường thẳng trong không gian,Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2t\z=3-t.\end{array}ight.$,Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta?$,$A.~\overrightarrow u_1=(1;-2;3).$ $B.~\overrightarrow u_2=(1;2;-1).$ $C.~\overrightarrow u_3=(1;2;1).$ $D.~\overrightarrow u_4=(2;0;2).$,Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2t~(t\in\mathbb R).\z=3-t\end{array}ight.$,Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng 2 $\Delta?$,$A.~M(1;2;-1).$ $B.~N(2;0;2).$ $C.~P(-1;2;5).$ $D.~Q(1;-2;2).$,Câu 15. Cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-t~(t\in\mathbb R)\z=1\end{array}ight.$ và $d^\prime:\frac{x-1}1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{-2}.$,Khẳng định nào sau đây đúng?,A. d, d' song song với nhau. B. d, d' chéo nhau.,C. d, d' trùng nhau. D. d, d' cắt nhau.,Câu 16. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và,$B(2;3;-2)$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=2+t\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=-1\end{array}ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=2\y=3\z=-1-t\end{array}ight.~(t\in\mathbb R).$,$C.\left\{\begin{array}lx=2\y=3+t~(t\in\mathbb R).\z=-1+t\end{array}ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+t\y=3~(t\in\mathbb R).\z=-1+t\end{array}ight.$,Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(\alpha):~2x+2y+z=0$ và $(\beta):~x+z+\sqrt3=0$,Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và (B) là,$A.~30^0.$ $B.~90^0.$ $C.~45^0.$ $D.~60^0.$,40

Accepted Answer

Câu 11.
Để tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
   - Ta có các vectơ $\overrightarrow{AB} = (-1; -2; 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)$.
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (ABC) là tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -1 & -2 & 0 \
     -1 & 0 & 1
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - (-2) \cdot -1)
     = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-2)
     = (-2; 1; -2)
     $$

2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC):
   - Mặt phẳng (ABC) có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-2, 1, -2)$.
   - Thay tọa độ của điểm A vào phương trình để tìm $d$:
     $$
     -2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + d = 0 \implies -2 + d = 0 \implies d = 2
     $$
   - Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:
     $$
     -2x + y - 2z + 2 = 0
     $$

3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC):
   - Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
     $$
     d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
     $$
   - Thay $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$ và các hệ số $a = -2$, $b = 1$, $c = -2$, $d = 2$ vào công thức:
     $$
     d = \frac{|-2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}
     $$

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC) là $\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: C. $\frac{2}{3}$.

Câu 12.
Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng (ABC):
   - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 0-1, 1+1) = (1, -1, 2)$.
   - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (2-2, -1-1, 3+1) = (0, -2, 4)$.

2. Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến:
   - $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
   - Ta có:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     1 & -1 & 2 \
     0 & -2 & 4
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}((-1) \cdot 4 - 2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 0)
     = \mathbf{i}( -4 + 4 ) - \mathbf{j}( 4 ) + \mathbf{k}( -2 )
     = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-2)
     = (0, -4, -2).
     $$

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n} = (0, -4, -2)$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $\overrightarrow{n}_1 = (0, -4, -2)$.

Đáp án: A. $\overrightarrow{n}_1 = (0, -4, -2)$.

Câu 13.
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần xác định vectơ chỉ phương từ phương trình tham số của đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + t \
y = -2 + 2t \
z = 3 - t
\end{array}
\right.
$$

Từ phương trình này, ta thấy rằng khi thay đổi giá trị của tham số $t$, các tọa độ $(x, y, z)$ sẽ thay đổi theo quy luật:
- Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $x$ tăng thêm 1 đơn vị.
- Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $y$ tăng thêm 2 đơn vị.
- Khi $t$ tăng thêm 1 đơn vị, $z$ giảm đi 1 đơn vị.

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\overrightarrow{u} = (1, 2, -1)
$$

So sánh với các lựa chọn đã cho:
A. $\overrightarrow{u}_1 = (1, -2, 3)$
B. $\overrightarrow{u}_2 = (1, 2, -1)$
C. $\overrightarrow{u}_3 = (1, 2, 1)$
D. $\overrightarrow{u}_4 = (2, 0, 2)$

Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{u}_2 = (1, 2, -1)$ chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Vậy đáp án đúng là:
B. $\overrightarrow{u}_2 = (1, 2, -1)$.

Câu 14.
Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ sao cho các phương trình đều thỏa mãn.

A. Điểm $M(1;2;-1)$:
- Thay vào phương trình $x = 1 + t$: $1 = 1 + t \Rightarrow t = 0$
- Thay vào phương trình $y = -2 + 2t$: $2 = -2 + 2 \cdot 0 \Rightarrow 2 = -2$ (sai)
- Do đó, điểm $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

B. Điểm $N(2;0;2)$:
- Thay vào phương trình $x = 1 + t$: $2 = 1 + t \Rightarrow t = 1$
- Thay vào phương trình $y = -2 + 2t$: $0 = -2 + 2 \cdot 1 \Rightarrow 0 = 0$ (đúng)
- Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $2 = 3 - 1 \Rightarrow 2 = 2$ (đúng)
- Do đó, điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

C. Điểm $P(-1;2;5)$:
- Thay vào phương trình $x = 1 + t$: $-1 = 1 + t \Rightarrow t = -2$
- Thay vào phương trình $y = -2 + 2t$: $2 = -2 + 2 \cdot (-2) \Rightarrow 2 = -6$ (sai)
- Do đó, điểm $P$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

D. Điểm $Q(1;-2;2)$:
- Thay vào phương trình $x = 1 + t$: $1 = 1 + t \Rightarrow t = 0$
- Thay vào phương trình $y = -2 + 2t$: $-2 = -2 + 2 \cdot 0 \Rightarrow -2 = -2$ (đúng)
- Thay vào phương trình $z = 3 - t$: $2 = 3 - 0 \Rightarrow 2 = 3$ (sai)
- Do đó, điểm $Q$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

Vậy điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là điểm $N(2;0;2)$.

Đáp án đúng là: B. $N(2;0;2)$.

Câu 15.
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng

- Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
  $$
  \left\{
  \begin{array}{l}
  x = 2 + t \
  y = 1 - t \
  z = 1
  \end{array}
  \right.
  $$
  Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (1, -1, 0)$.

- Đường thẳng $d'$ có phương trình:
  $$
  \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+2}{-2}
  $$
  Vectơ chỉ phương của $d'$ là $\vec{v} = (1, -1, -2)$.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song

Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

Ta thấy:
$$
(1, -1, 0) \neq k \cdot (1, -1, -2)
$$
Vì không tồn tại $k$ nào thỏa mãn cả ba thành phần, nên hai đường thẳng không song song.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện trùng nhau

Hai đường thẳng trùng nhau nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương và điểm trên một đường thẳng cũng thuộc đường thẳng còn lại.

Ta thấy:
$$
(1, -1, 0) \neq k \cdot (1, -1, -2)
$$
Vì không tồn tại $k$ nào thỏa mãn cả ba thành phần, nên hai đường thẳng không trùng nhau.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện cắt nhau

Hai đường thẳng cắt nhau nếu có điểm chung và vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương.

Ta giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $M(x_0, y_0, z_0)$. Ta có:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_0 = 2 + t \
y_0 = 1 - t \
z_0 = 1
\end{array}
\right.
$$
và
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_0 = 1 + s \
y_0 = 2 - s \
z_0 = -2 - 2s
\end{array}
\right.
$$

Bằng cách so sánh các thành phần tương ứng, ta có:
$$
2 + t = 1 + s \quad \Rightarrow \quad t = s - 1
$$
$$
1 - t = 2 - s \quad \Rightarrow \quad t = s - 1
$$
$$
1 = -2 - 2s \quad \Rightarrow \quad s = -\frac{3}{2}
$$

Thay $s = -\frac{3}{2}$ vào $t = s - 1$:
$$
t = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}
$$

Kiểm tra lại:
$$
x_0 = 2 + (-\frac{5}{2}) = -\frac{1}{2}
$$
$$
y_0 = 1 - (-\frac{5}{2}) = \frac{7}{2}
$$
$$
z_0 = 1
$$

Và:
$$
x_0 = 1 + (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{2}
$$
$$
y_0 = 2 - (-\frac{3}{2}) = \frac{7}{2}
$$
$$
z_0 = -2 - 2(-\frac{3}{2}) = 1
$$

Như vậy, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(- \frac{1}{2}, \frac{7}{2}, 1)$.

Kết luận
Đáp án đúng là: D. d, d' cắt nhau.

Câu 16.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A(2;3;-1) $ và $ B(2;3;-2) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng:
   Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $ A $ và $ B $ là:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (2-2, 3-3, -2+1) = (0, 0, -1)
   $$

2. Lập phương trình tham số của đường thẳng:
   Đường thẳng đi qua điểm $ A(2;3;-1) $ và có vector chỉ phương $ \overrightarrow{AB} = (0, 0, -1) $ có phương trình tham số là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 + 0 \cdot t \
   y = 3 + 0 \cdot t \
   z = -1 - 1 \cdot t
   \end{array}
   \right.
   $$
   Điều này tương đương với:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 2 \
   y = 3 \
   z = -1 - t
   \end{array}
   \right.
   $$

Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A(2;3;-1) $ và $ B(2;3;-2) $ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 \
y = 3 \
z = -1 - t
\end{array}
\right.
$$

Vậy đáp án đúng là:
B. $\left\{\begin{array}{l}x=2 \ y=3 \ z=-1-t \end{array}\right.~(t\in\mathbb R).$

Đáp án: B.

Câu 17.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
- Mặt phẳng $(\alpha): 2x + 2y + z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (2, 2, 1)$.
- Mặt phẳng $(\beta): x + z + \sqrt{3} = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (1, 0, 1)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
$$ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 2 + 0 + 1 = 3 $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
$$ |\vec{n}_\alpha| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 $$
$$ |\vec{n}_\beta| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
$$ \cos \theta = \frac{\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta}{|\vec{n}_\alpha| \cdot |\vec{n}_\beta|} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

5. Tìm góc $\theta$:
$$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là $45^\circ$. Đáp án đúng là C. $45^\circ$.