giúp với ạ

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB') và (CC'D'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hai điểm thuộc mỗi mặt phẳng: - Điểm A thuộc mặt phẳng (ABB') - Điểm C thuộc mặt phẳng (CC'D') 2. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABB') có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_1} = \vec{AD}$ - Mặt phẳng (CC'D') có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_2} = \vec{AB}$ 3. Xác định vectơ nối hai điểm thuộc mỗi mặt phẳng: - Vectơ $\vec{AC}$ nối điểm A thuộc (ABB') và điểm C thuộc (CC'D') 4. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là độ dài của phép chiếu của vectơ $\vec{AC}$ lên vectơ pháp tuyến chung. Ta có: - $\vec{AD} = (0, 0, 1)$ - $\vec{AB} = (1, 0, 0)$ - $\vec{AC} = (1, 1, 0)$ Phép chiếu của $\vec{AC}$ lên $\vec{AD}$ là: \[ \text{Proj}_{\vec{AD}} \vec{AC} = \left( \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{\vec{AD} \cdot \vec{AD}} \right) \vec{AD} = \left( \frac{(1, 1, 0) \cdot (0, 0, 1)}{(0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1)} \right) (0, 0, 1) = 0 \] Phép chiếu của $\vec{AC}$ lên $\vec{AB}$ là: \[ \text{Proj}_{\vec{AB}} \vec{AC} = \left( \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{\vec{AB} \cdot \vec{AB}} \right) \vec{AB} = \left( \frac{(1, 1, 0) \cdot (1, 0, 0)}{(1, 0, 0) \cdot (1, 0, 0)} \right) (1, 0, 0) = (1, 0, 0) \] Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng là: \[ d = |\vec{AC}| - |\text{Proj}_{\vec{AD}} \vec{AC}| - |\text{Proj}_{\vec{AB}} \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} - 0 - 1 = \sqrt{2} - 1 \] Tuy nhiên, do hai mặt phẳng song song nên khoảng cách giữa chúng là chiều cao của hình lập phương, tức là 1. Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB') và (CC'D') là 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 2. Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: \[ d = \frac{u_8 - u_1}{8-1} = \frac{26 - \frac{1}{3}}{7} = \frac{\frac{78}{3} - \frac{1}{3}}{7} = \frac{\frac{77}{3}}{7} = \frac{77}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{11}{3} \] Vậy đáp án đúng là: A. $d = \frac{11}{3}$ Đáp số: A. $d = \frac{11}{3}$ Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng kết luận một để xác định kết luận nào là sai. 1. Kiểm tra kết luận A: $(SAB) \perp (ABC)$ - Vì $SA \perp (ABC)$, nên mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ và cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo đường thẳng $AB$. Do đó, $(SAB) \perp (ABC)$ là đúng. 2. Kiểm tra kết luận B: $(SAC) \perp (SBC)$ - Để $(SAC) \perp (SBC)$, cần có một đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $(SBC)$. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy điều này. Do đó, kết luận này chưa chắc chắn. 3. Kiểm tra kết luận C: $(SAC) \perp (ABC)$ - Vì $SA \perp (ABC)$, nên mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $SA$ và cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo đường thẳng $AC$. Do đó, $(SAC) \perp (ABC)$ là đúng. 4. Kiểm tra kết luận D: $(SAB) \perp (SBC)$ - Vì $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ và cắt mặt phẳng $(SBC)$ theo đường thẳng $SB$. Do đó, $(SAB) \perp (SBC)$ là đúng. Từ các phân tích trên, kết luận B là sai vì không có thông tin nào cho thấy $(SAC) \perp (SBC)$. Đáp án: B. $(SAC) \perp (SBC)$ Câu 4. Để tính xác suất để cả hai bi đều đỏ, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính tổng số cách lấy ra 2 bi từ túi: - Túi có tổng cộng 10 bi (6 bi xanh + 4 bi đỏ). - Số cách chọn 2 bi từ 10 bi là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] 2. Tính số cách lấy ra 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ: - Số cách chọn 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] 3. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ: - Xác suất để cả hai bi đều đỏ là tỉ số giữa số cách lấy ra 2 bi đỏ và tổng số cách lấy ra 2 bi: \[ P(\text{cả hai bi đều đỏ}) = \frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \] Vậy xác suất để cả hai bi đều đỏ là $\frac{2}{15}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{2}{15}$. Câu 5. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm của \( y \) theo công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x + 3}{x + 1} \right)' = \frac{(2x + 3)'(x + 1) - (2x + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (2x + 3)' = 2 \quad \text{và} \quad (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{2(x + 1) - (2x + 3)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{(x + 1)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm: Ta thấy rằng \( y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} \). Biểu thức này luôn luôn âm vì \((x + 1)^2\) luôn dương (trừ khi \( x = -1 \), nhưng tại điểm này hàm số không xác định). 3. Xác định điểm cực trị: Vì đạo hàm \( y' \) luôn luôn âm (trừ khi \( x = -1 \)), hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Do đó, hàm số không có điểm cực trị. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) có 0 điểm cực trị. Đáp án đúng là: A. 0. Câu 6. Để tìm mốt của mẫu số liệu, ta cần xác định khoảng có tần số lớn nhất và sử dụng công thức tính mốt cho dãy số liệu liên tục. Bước 1: Xác định khoảng có tần số lớn nhất. - Khoảng [6;7) có tần số là 8. - Khoảng [7;8) có tần số là 7. - Khoảng [8;9) có tần số là 10. - Khoảng [9;10] có tần số là 5. Khoảng có tần số lớn nhất là [8;9) với tần số là 10. Bước 2: Áp dụng công thức tính mốt cho dãy số liệu liên tục. Công thức mốt: \[ Mo = x_0 + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h \] Trong đó: - \( x_0 \) là cận dưới của khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_1 \) là tần số của khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_0 \) là tần số của khoảng liền trước khoảng có tần số lớn nhất. - \( f_2 \) là tần số của khoảng liền sau khoảng có tần số lớn nhất. - \( h \) là khoảng cách giữa hai cận dưới liên tiếp của các khoảng. Áp dụng vào bài toán: - \( x_0 = 8 \) - \( f_1 = 10 \) - \( f_0 = 7 \) - \( f_2 = 5 \) - \( h = 1 \) Thay vào công thức: \[ Mo = 8 + \left( \frac{10 - 7}{2 \times 10 - 7 - 5} \right) \times 1 \] \[ Mo = 8 + \left( \frac{3}{20 - 12} \right) \times 1 \] \[ Mo = 8 + \left( \frac{3}{8} \right) \times 1 \] \[ Mo = 8 + 0,375 \] \[ Mo = 8,375 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ Mo = 8,38 \] Vậy mốt của mẫu số liệu là 8,38. Đáp án đúng là: B. 8,38. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. 2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng. 3. Kết luận. Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó AB = AC = $a\sqrt{2}$ và BC = $2a$. - SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tức là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC. Bước 2: Tìm góc giữa hai mặt phẳng - Mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) cắt nhau theo đường thẳng BC. - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC trong tam giác ABC. Vì ABC là tam giác vuông cân, nên H cũng là trung điểm của BC. - Gọi D là chân đường cao hạ từ S xuống BC trong tam giác SBC. Vì SA vuông góc với (ABC), nên SD cũng vuông góc với BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng SD và AH, vì SD và AH đều vuông góc với BC. Bước 3: Tính góc giữa SD và AH - Trong tam giác vuông SAD, ta có: - SA = a - AD = $\frac{BC}{2} = a$ - Do đó, SD = $\sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ - Trong tam giác vuông AHD, ta có: - AH = $\frac{AB \times AC}{BC} = \frac{(a\sqrt{2}) \times (a\sqrt{2})}{2a} = a$ - Góc giữa SD và AH là góc giữa hai đường thẳng SD và AH trong tam giác SAD, tức là góc SDA. Trong tam giác SAD, ta có: - SA = a - AD = a - SD = $a\sqrt{2}$ Do đó, tam giác SAD là tam giác vuông cân tại A, và góc SDA = 45°. Kết luận: Góc nhị diện [S,BC,A] có số đo bằng 45°. Đáp án đúng là: C. 45°. Câu 8. Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Phương trình đã cho là: \[ \log_4 x^2 - \log_2 3 = 1 \] Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \log_4 x^2 = 1 + \log_2 3 \] Biến đổi phương trình: \[ \log_4 x^2 = \log_2 2 + \log_2 3 \] \[ \log_4 x^2 = \log_2 (2 \cdot 3) \] \[ \log_4 x^2 = \log_2 6 \] Sử dụng tính chất của logarit để chuyển đổi cơ số: \[ \log_4 x^2 = \frac{\log_2 x^2}{\log_2 4} \] \[ \log_4 x^2 = \frac{\log_2 x^2}{2} \] Do đó: \[ \frac{\log_2 x^2}{2} = \log_2 6 \] \[ \log_2 x^2 = 2 \log_2 6 \] \[ \log_2 x^2 = \log_2 6^2 \] \[ \log_2 x^2 = \log_2 36 \] Bỏ dấu logarit ở cả hai vế: \[ x^2 = 36 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = -6 \] Tuy nhiên, do điều kiện \( x > 0 \), ta loại nghiệm \( x = -6 \). Vậy nghiệm duy nhất là: \[ x = 6 \] Tổng các nghiệm của phương trình là: \[ 6 \] Đáp án đúng là: A. 6 Câu 9. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị, ta cần quan sát hướng của đồ thị từ trái sang phải: - Nếu đồ thị đi lên (từ trái sang phải), tức là giá trị của $y$ tăng khi giá trị của $x$ tăng, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Dựa vào đồ thị, ta thấy: - Từ $x = -2$ đến $x = 0$, đồ thị đi xuống, do đó hàm số nghịch biến. - Từ $x = 0$ đến $x = 2$, đồ thị đi lên, do đó hàm số đồng biến. - Từ $x = 2$ đến $x = 4$, đồ thị đi xuống, do đó hàm số nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0, 2)$. Đáp án: $(0, 2)$.