Giúp làm chó

Câu 1. a) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 4 \\ 3x + 2y = 4 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại ta được: \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 4 + 4 \\ 4x = 8 \\ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 2 - 2y = 4 \\ -2y = 4 - 2 \\ -2y = 2 \\ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, -1) \). b) Xét tập các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 50: \[ 10, 11, 12, ..., 49 \] Tổng số các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 50 là: \[ 49 - 10 + 1 = 40 \] Các số chia hết cho 5 trong khoảng này là: \[ 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 \] Tổng số các số chia hết cho 5 là: \[ 8 \] Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} \] Đáp số: a) Nghiệm của hệ phương trình: \( (x, y) = (2, -1) \) b) Xác suất của biến cố A: \( \frac{1}{5} \) Câu 2. a) Thực hiện phép tính: \[ P = (\sqrt{8} - \sqrt{18} + \sqrt{98}) : \sqrt{2} \] Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \] \[ \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2} \] Thay vào biểu thức: \[ P = (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 7\sqrt{2}) : \sqrt{2} \] Tính tổng trong ngoặc: \[ 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = (2 - 3 + 7)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] Chia biểu thức: \[ P = 6\sqrt{2} : \sqrt{2} = 6 \] Vậy: \[ P = 6 \] b) Rút gọn biểu thức: \[ Q = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \) Quy đồng mẫu số: \[ Q = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Rút gọn tử số: \[ Q = \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ Q = \frac{2}{x - 1} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Gộp các phân số: \[ Q = \frac{2 + 2\sqrt{x}}{x - 1} \] Vậy: \[ Q = \frac{2(1 + \sqrt{x})}{x - 1} \] c) Cho hàm số bậc hai \( y = f(x) = ax^2 \), biết đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(3; 9) \). Tìm \( a \). Thay tọa độ điểm \( A(3; 9) \) vào hàm số: \[ 9 = a \cdot 3^2 \] \[ 9 = a \cdot 9 \] Giải phương trình: \[ a = \frac{9}{9} \] \[ a = 1 \] Vậy: \[ a = 1 \] Câu 3. a) Gọi số tiền bác Tuấn vay của ngân hàng Sacombank là x (tỉ đồng, điều kiện: x > 0) Số tiền bác Tuấn vay của ngân hàng Vietcombank là: 3 - x (tỉ đồng) Tiền lãi phải trả cho ngân hàng Sacombank sau một năm là: \[ \frac{x \times 10}{100} = 0,1x \text{ (tỉ đồng)} \] Tiền lãi phải trả cho ngân hàng Vietcombank sau một năm là: \[ \frac{(3 - x) \times 9}{100} = 0,09(3 - x) \text{ (tỉ đồng)} \] Theo đề bài, tổng số tiền lãi phải trả cho hai ngân hàng là 280 triệu đồng, tức là 0,28 tỉ đồng: \[ 0,1x + 0,09(3 - x) = 0,28 \] Giải phương trình: \[ 0,1x + 0,27 - 0,09x = 0,28 \] \[ 0,01x + 0,27 = 0,28 \] \[ 0,01x = 0,01 \] \[ x = 1 \] Vậy số tiền bác Tuấn vay của ngân hàng Sacombank là 1 tỉ đồng. Số tiền bác Tuấn vay của ngân hàng Vietcombank là: \[ 3 - 1 = 2 \text{ (tỉ đồng)} \] b) Gọi vận tốc xe đạp của Tâm là x (km/h, điều kiện: x > 0) Vận tốc xe đạp của Lan là: x - 3 (km/h) Thời gian Tâm đi từ trường ra trung tâm huyện là: \[ \frac{30}{x} \text{ (giờ)} \] Thời gian Lan đi từ trường ra trung tâm huyện là: \[ \frac{30}{x - 3} \text{ (giờ)} \] Theo đề bài, Lan đến trung tâm huyện chậm hơn Tâm 30 phút, tức là 0,5 giờ: \[ \frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x} = 0,5 \] Quy đồng và giải phương trình: \[ \frac{30x - 30(x - 3)}{x(x - 3)} = 0,5 \] \[ \frac{90}{x(x - 3)} = 0,5 \] \[ 90 = 0,5x(x - 3) \] \[ 180 = x^2 - 3x \] \[ x^2 - 3x - 180 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 15 \text{ hoặc } x = -12 \] Vì vận tốc không thể âm nên ta chọn: \[ x = 15 \] Vậy vận tốc xe đạp của Tâm là 15 km/h. Vận tốc xe đạp của Lan là: \[ 15 - 3 = 12 \text{ (km/h)} \] c) Phương trình \( x^2 + 3x - 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -3 \] \[ x_1 x_2 = -3 \] Ta cần tính giá trị của biểu thức \( A = x_1^3 + x_2^3 - 3x_1 x_2 \). Áp dụng công thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \): \[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) \] Biến đổi \( x_1^2 + x_2^2 \): \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-3)^2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15 \] Do đó: \[ x_1^3 + x_2^3 = (-3)(15 - (-3)) = (-3)(15 + 3) = (-3) \times 18 = -54 \] Vậy: \[ A = x_1^3 + x_2^3 - 3x_1 x_2 = -54 - 3(-3) = -54 + 9 = -45 \] Đáp số: a) Số tiền bác Tuấn vay của ngân hàng Sacombank là 1 tỉ đồng, của ngân hàng Vietcombank là 2 tỉ đồng. b) Vận tốc xe đạp của Tâm là 15 km/h, của Lan là 12 km/h. c) Giá trị của biểu thức \( A \) là -45. Câu 4. a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BFEC nội tiếp. b) Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{CAM}$ (cùng bù với $\widehat{CAD}$) $\widehat{ABD}=\widehat{ACM}$ (cùng chắn cung AM) Nên $\triangle BAD$ đồng dạng với $\triangle CAM$ (g-g) Suy ra $\frac{AD}{AM}=\frac{AB}{AC}$ Từ đó ta có $AD.AM=AB.AC$ Ta có $\widehat{AID}=\widehat{AEB}=90^\circ$ nên tứ giác AIDE nội tiếp. Suy ra $\widehat{DAI}=\widehat{DEI}$ Mà $\widehat{DAI}=\widehat{HBI}$ (cùng bù với $\widehat{BAH}$) Nên $\widehat{HBI}=\widehat{DEI}$ Từ đó ta có $\triangle HBI$ đồng dạng với $\triangle DEI$ (g-g) Suy ra $\frac{BI}{HI}=\frac{HE}{EI}$ Từ đó ta có $BI.HE=IH.BE$ c) Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BKC}=90^\circ$ nên tứ giác BNCK nội tiếp. Suy ra $\widehat{CBN}=\widehat{CKN}$ Mà $\widehat{CBN}=\widehat{DBN}$ (cùng bù với $\widehat{ABN}$) Nên $\widehat{DBN}=\widehat{CKN}$ Từ đó ta có tứ giác DNK có $\widehat{DBN}+\widehat{CKN}=180^\circ$ nên nội tiếp. Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNK nằm trên cạnh BC.