Giải trắc nghirmj

Câu 37: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):~2x - y + 3 = 0$, ta cần kiểm tra điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng. Điều kiện này là tích vô hướng của các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (2, -1, 0)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng trong các lựa chọn: A. $(a_1): -2x + y - 3z = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_1)$ là $\vec{n}_{a_1} = (-2, 1, -3)$. Tích vô hướng: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_{a_1} = (2, -1, 0) \cdot (-2, 1, -3) = 2 \times (-2) + (-1) \times 1 + 0 \times (-3) = -4 - 1 + 0 = -5 \neq 0 \] B. $(a_2): x + 5y + z - 2 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_2)$ là $\vec{n}_{a_2} = (1, 5, 1)$. Tích vô hướng: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_{a_2} = (2, -1, 0) \cdot (1, 5, 1) = 2 \times 1 + (-1) \times 5 + 0 \times 1 = 2 - 5 + 0 = -3 \neq 0 \] C. $(a_3): 4x - 2y + 7 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_3)$ là $\vec{n}_{a_3} = (4, -2, 0)$. Tích vô hướng: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_{a_3} = (2, -1, 0) \cdot (4, -2, 0) = 2 \times 4 + (-1) \times (-2) + 0 \times 0 = 8 + 2 + 0 = 10 \neq 0 \] D. $(a_4): x + 2y - z + 1 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_4)$ là $\vec{n}_{a_4} = (1, 2, -1)$. Tích vô hướng: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_{a_4} = (2, -1, 0) \cdot (1, 2, -1) = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 0 \times (-1) = 2 - 2 + 0 = 0 \] Như vậy, chỉ có mặt phẳng $(a_4): x + 2y - z + 1 = 0$ có tích vô hướng với mặt phẳng $(\alpha)$ bằng 0, do đó nó vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. Đáp án đúng là: D. $(a_4): x + 2y - z + 1 = 0$. Câu 38: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn song song với mặt phẳng $(\alpha)$, ta cần kiểm tra xem các vector pháp tuyến của chúng có cùng phương hay không. Mặt phẳng $(\alpha):~2x - y + 3 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (2, -1, 0)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: A. $(a_1):~-2x + y - 3z = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_1)$ là $\vec{n}_{a_1} = (-2, 1, -3)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_{a_1}$ không cùng phương với $\vec{n}_\alpha$, vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_{a_1} = k \cdot \vec{n}_\alpha$. B. $(a_2):~x + 5y + z - 2 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_2)$ là $\vec{n}_{a_2} = (1, 5, 1)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_{a_2}$ không cùng phương với $\vec{n}_\alpha$, vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_{a_2} = k \cdot \vec{n}_\alpha$. C. $(a_3):~4x - 2y + 7 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_3)$ là $\vec{n}_{a_3} = (4, -2, 0)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_{a_3}$ cùng phương với $\vec{n}_\alpha$, vì $\vec{n}_{a_3} = 2 \cdot \vec{n}_\alpha$. Do đó, mặt phẳng $(a_3)$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$. D. $(a_4):~x + 2y - z + 1 = 0$ Vector pháp tuyến của $(a_4)$ là $\vec{n}_{a_4} = (1, 2, -1)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_{a_4}$ không cùng phương với $\vec{n}_\alpha$, vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_{a_4} = k \cdot \vec{n}_\alpha$. Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\alpha)$ là: C. $(a_3):~4x - 2y + 7 = 0$. Câu 39: Để tính khoảng cách \( d \) từ điểm \( A(1, -2, 3) \) đến mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 3x + 4y + 2z + 4 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A(1, -2, 3) \) có \( x_0 = 1 \), \( y_0 = -2 \), \( z_0 = 3 \) - Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 3x + 4y + 2z + 4 = 0 \), do đó \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = 2 \), \( d = 4 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|3 - 8 + 6 + 4|}{\sqrt{9 + 16 + 4}} \] \[ d = \frac{|5|}{\sqrt{29}} \] \[ d = \frac{5}{\sqrt{29}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là: \[ d = \frac{5}{\sqrt{29}} \] Đáp án đúng là: B. \( d = \frac{5}{\sqrt{29}} \) Câu 40: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(3;1;-2) \) đến mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 4 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( M(3, 1, -2) \) - Mặt phẳng \( (P): 2x - y + 2z - 4 = 0 \) Ta có: - \( a = 2 \) - \( b = -1 \) - \( c = 2 \) - \( d = -4 \) - \( x_0 = 3 \) - \( y_0 = 1 \) - \( z_0 = -2 \) Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|6 - 1 - 4 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \] \[ d = \frac{|-3|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{3}{3} \] \[ d = 1 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(3;1;-2) \) đến mặt phẳng \( (P) \) là 1. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 41: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{11}{3} \). Câu 42: Để tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình của hai mặt phẳng. - Mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x - y + z - 7 = 0\). - Giả sử mặt phẳng (Q) có phương trình: \(2x - y + z + d = 0\). Bước 2: Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (P). - Ta chọn điểm \(A(0, 0, 7)\) thuộc mặt phẳng (P). Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng (Q). - Công thức khoảng cách từ một điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng công thức này để tính khoảng cách từ điểm \(A(0, 0, 7)\) đến mặt phẳng (Q): \[ d = \frac{|2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 7 + d|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|7 + d|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|7 + d|}{\sqrt{6}} \] Bước 4: Xác định giá trị của \(d\). - Vì hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa chúng là hằng số. Do đó, ta có thể chọn \(d = -7\) để đơn giản hóa việc tính toán. Thay \(d = -7\) vào công thức: \[ d = \frac{|7 - 7|}{\sqrt{6}} = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0 \] Điều này không đúng vì hai mặt phẳng song song và có khoảng cách khác 0. Do đó, ta cần chọn lại giá trị của \(d\) sao cho khoảng cách là hằng số. Bước 5: Kết luận khoảng cách giữa hai mặt phẳng. - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là: \[ d = \frac{|7 + d|}{\sqrt{6}} \] - Vì hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa chúng là hằng số. Do đó, ta có thể chọn \(d = -7\) để đơn giản hóa việc tính toán. Kết luận: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: \[ d = \frac{7}{\sqrt{6}} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{7}{\sqrt{6}}$.