2) Cho tam giác ABC nhọn (AB

Question

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Đường tròn (O) đường kính BC cắt cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt tại F và E (F khác B; E khác C). BE và CF cắt nhau tại H; đường thẳng AH cắt EF và BC lần lượt tại I và D. Đường thăng qua I song song với BC cắt AB, BE lần lượt tại P, Q. Tia AQ cắt BC tại K.

a) Chứng minh các tứ giác AEHF, ACDF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh (HI)/(HD) = (FI)/(FD) và D là trung điểm của BK.

Võ Thuyên Kim lớp 7.6 · Accepted Answer

a)
Tam giác ABC có đường cao BE và CF $\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
BE\bot AC & \
CF\bot AB &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
\widehat{AEB} =\widehat{BEC} =90^{0} & \
\widehat{AFC} =\widehat{BFC} =90^{0} &
\end{cases}$
Xét tứ giác AFHE, có:
$\displaystyle \widehat{AFH} +\widehat{AEH} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$
mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⟹ Tứ giác AFHE nội tiếp
Tam giác ABC có: đường cao BE và CF cắt nhau tại H
⟹ H là trực tâm của tam giác ABC
⟹ AH$\displaystyle \bot $BC tại D ⟹ $\displaystyle \widehat{ADB} =\widehat{ADC} =90^{0}$
Xét tứ giác ACDF, có:
$\displaystyle \widehat{ADC} =\widehat{AEC} =90^{0}$
mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC
⟹ Tứ giác ACDF nội tiếp

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AF)

$\widehat{AHF} = \widehat{ACB}$ (giao điểm của 2 đường cao)

Suy ra $\widehat{AEF} = \widehat{AHF}$

Tứ giác AEHF nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180°)

Ta có $\widehat{AFD} = \widehat{ACD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra Tứ giác ACDF nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180°)

b) Ta có $\widehat{AIF} = \widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AF)

$\widehat{AID} = \widehat{ABC}$ (PQ // BC)

Suy ra $\widehat{AIF} = \widehat{AID}$

Tứ giác IFHD nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180°)

Suy ra $\frac{HI}{HD} = \frac{FI}{FD}$ (tỉ số giữa 2 đoạn thẳng trên tia chung)

Ta có $\widehat{AQK} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AB)

$\widehat{ACB} = \widehat{AQB}$ (góc nội tiếp chắn cùng cung)

Suy ra $\widehat{AQK} = \widehat{AQB}$

Suy ra QK = QB (tia phân giác của 1 góc bằng nửa góc đó)

Ta có $\widehat{QBD} = \widehat{QDB}$ (cùng chắn cung QD)

Suy ra BD = BQ

Suy ra BD = DK

Vậy D là trung điểm của BK.

2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Đường tròn (O) đường kính BC cắt cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt tại F và E (F khác B; E khác C). BE và CF cắt nhau tại H; đường thẳng AH cắt EF và BC lần l...