Giai bat pt lag $(x^2+1)\leq\log(x+3)$

Question

Accepted Answer

Để giải bất phương trình $\log(x^2 + 1) \leq \log(x + 3)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)

- Đối với $\log(x^2 + 1)$, ta thấy rằng $x^2 + 1 > 0$ luôn đúng với mọi $x$, vì $x^2 \geq 0$ và cộng thêm 1 sẽ luôn lớn hơn 0.
- Đối với $\log(x + 3)$, ta cần $x + 3 > 0$. Điều này dẫn đến $x > -3$.

Vậy ĐKXĐ của bất phương trình là $x > -3$.

Bước 2: So sánh các biểu thức trong logarit

Do hàm số logarit là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có thể so sánh trực tiếp các biểu thức bên trong logarit:

$$ x^2 + 1 \leq x + 3 $$

Bước 3: Giải bất phương trình bậc hai

Rearrange the inequality to standard form:

$$ x^2 - x - 2 \leq 0 $$

Factorize the quadratic expression:

$$ (x - 2)(x + 1) \leq 0 $$

Bước 4: Xác định các khoảng nghiệm

Ta vẽ bảng xét dấu để xác định các khoảng nghiệm:

|   x    |  -∞  |  -1  |  2  |  +∞  |
|--------|------|------|-----|------|
| x + 1  |  -   |  0   |  +  |  +   |
| x - 2  |  -   |  -   |  0  |  +   |
| (x+1)(x-2) |  +  |  0  |  -  |  +  |

Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 2)(x + 1) \leq 0$ khi $-1 \leq x \leq 2$.

Bước 5: Kết hợp điều kiện xác định

Điều kiện xác định là $x > -3$. Vì vậy, ta cần giao phần này với khoảng nghiệm đã tìm được:

$$ -1 \leq x \leq 2 $$

Kết luận

Giải của bất phương trình $\log(x^2 + 1) \leq \log(x + 3)$ là:

$$ -1 \leq x \leq 2 $$

Đáp số: $[-1, 2]$