Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. cạnh bên SA vuông góc đáy, M là trung điểm BC, AB=2a, SA=a. tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AM

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM trong chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định hệ tọa độ và các điểm:
   - Chọn gốc tọa độ tại A, trục Ox dọc theo AB, trục Oy dọc theo AC và trục Oz dọc theo SA.
   - Do đó, các điểm có tọa độ:
     - $A(0, 0, 0)$
     - $B(2a, 0, 0)$
     - $C(0, 2a, 0)$
     - $S(0, 0, a)$

2. Tìm tọa độ của điểm M:
   - M là trung điểm của BC, do đó:
     $$
     M\left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(a, a, 0)
     $$

3. Tìm vectơ SB và AM:
   - Vectơ SB:
     $$
     \overrightarrow{SB} = B - S = (2a, 0, 0) - (0, 0, a) = (2a, 0, -a)
     $$
   - Vectơ AM:
     $$
     \overrightarrow{AM} = M - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
     $$

4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và AM:
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa SB và AM là tích vector của $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AM}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AM}
     $$
     Ta tính:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     2a & 0 & -a \
     a & a & 0
     \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-a) \cdot a) - \mathbf{j}(2a \cdot 0 - (-a) \cdot a) + \mathbf{k}(2a \cdot a - 0 \cdot a)
     $$
     $$
     \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(2a^2) = (a^2, -a^2, 2a^2)
     $$

5. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AM:
   - Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AM là:
     $$
     d(S, AM) = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
     $$
     - Vectơ SA:
       $$
       \overrightarrow{SA} = A - S = (0, 0, 0) - (0, 0, a) = (0, 0, -a)
       $$
     - Tích vô hướng $\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}$:
       $$
       \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = (0, 0, -a) \cdot (a^2, -a^2, 2a^2) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot (-a^2) + (-a) \cdot 2a^2 = -2a^3
       $$
     - Độ dài vectơ $\overrightarrow{n}$:
       $$
       |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (2a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + 4a^4} = \sqrt{6a^4} = a^2\sqrt{6}
       $$
     - Khoảng cách:
       $$
       d(S, AM) = \frac{|-2a^3|}{a^2\sqrt{6}} = \frac{2a^3}{a^2\sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}
       $$

6. Kết luận:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM là:
     $$
     \boxed{\frac{a\sqrt{6}}{3}}
     $$