tìm số tự nhiên x biết rằng khi chia cho 2025 cho x dư 89, khi chia 246 cho x thì dư 4

Question

Accepted Answer

Để tìm số tự nhiên $ x $ thỏa mãn điều kiện khi chia 2025 cho $ x $ dư 89 và khi chia 246 cho $ x $ dư 4, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện chia cho $ x $:
   - Khi chia 2025 cho $ x $ dư 89, ta có:
     $$
     2025 = x \cdot q_1 + 89
     $$
     Trong đó $ q_1 $ là thương khi chia 2025 cho $ x $.

- Khi chia 246 cho $ x $ dư 4, ta có:
     $$
     246 = x \cdot q_2 + 4
     $$
     Trong đó $ q_2 $ là thương khi chia 246 cho $ x $.

2. Tìm $ x $ từ hai điều kiện trên:
   - Từ điều kiện thứ nhất, ta có:
     $$
     x \cdot q_1 = 2025 - 89 = 1936
     $$
     Vậy $ x $ phải là ước của 1936.

- Từ điều kiện thứ hai, ta có:
     $$
     x \cdot q_2 = 246 - 4 = 242
     $$
     Vậy $ x $ phải là ước của 242.

3. Tìm các ước chung của 1936 và 242:
   - Ta phân tích 1936 và 242 thành tích các thừa số nguyên tố:
     $$
     1936 = 2^4 \times 11^2
     $$
     $$
     242 = 2 \times 11^2
     $$

- Các ước chung của 1936 và 242 là các số có dạng $ 2^a \times 11^b $ với $ 0 \leq a \leq 1 $ và $ 0 \leq b \leq 2 $. Các ước chung cụ thể là:
     $$
     1, 2, 11, 22, 121, 242
     $$

4. Kiểm tra các ước chung để tìm $ x $:
   - Ta kiểm tra từng ước chung để xem liệu nó có thỏa mãn cả hai điều kiện ban đầu hay không.

- Kiểm tra $ x = 1 $:
     $$
     2025 \div 1 = 2025 \quad (\text{dư } 0)
     $$
     $$
     246 \div 1 = 246 \quad (\text{dư } 0)
     $$
     Không thỏa mãn.

- Kiểm tra $ x = 2 $:
     $$
     2025 \div 2 = 1012 \quad (\text{dư } 1)
     $$
     $$
     246 \div 2 = 123 \quad (\text{dư } 0)
     $$
     Không thỏa mãn.

- Kiểm tra $ x = 11 $:
     $$
     2025 \div 11 = 184 \quad (\text{dư } 1)
     $$
     $$
     246 \div 11 = 22 \quad (\text{dư } 4)
     $$
     Không thỏa mãn.

- Kiểm tra $ x = 22 $:
     $$
     2025 \div 22 = 92 \quad (\text{dư } 1)
     $$
     $$
     246 \div 22 = 11 \quad (\text{dư } 4)
     $$
     Không thỏa mãn.

- Kiểm tra $ x = 121 $:
     $$
     2025 \div 121 = 16 \quad (\text{dư } 89)
     $$
     $$
     246 \div 121 = 2 \quad (\text{dư } 4)
     $$
     Thỏa mãn.

- Kiểm tra $ x = 242 $:
     $$
     2025 \div 242 = 8 \quad (\text{dư } 89)
     $$
     $$
     246 \div 242 = 1 \quad (\text{dư } 4)
     $$
     Thỏa mãn.

5. Kết luận:
   - Số tự nhiên $ x $ thỏa mãn điều kiện là $ x = 121 $ hoặc $ x = 242 $.

Đáp số: $ x = 121 $ hoặc $ x = 242 $.