Cho A = 1 phần 2 mũ 2 + 1 phần 3 mũ 2 + ... + 1 phần 8 mũ 2 + 1 phần 9 mũ 2 chứng tỏ rằng 2 phần 5

Question

Cho A = 1 phần 2 mũ 2 + 1 phần 3 mũ 2 + ... + 1 phần 8 mũ 2 + 1 phần 9 mũ 2 chứng tỏ rằng 2 phần 5 <A <1

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ \frac{2}{5} < A < 1 $ với $ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của $ A $ $ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} $ Bước 2: Tính từng phân số - $ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $ - $ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $ - $ \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} $ - $ \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $ - $ \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} $ - $ \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} $ - $ \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} $ - $ \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} $ Bước 3: Tính tổng các phân số Chúng ta sẽ tính tổng các phân số này: $$ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49} + \frac{1}{64} + \frac{1}{81} $$ Bước 4: So sánh với $ \frac{2}{5} $ và 1 Chúng ta sẽ so sánh từng phân số với $ \frac{2}{5} $ và 1 để chứng minh rằng $ \frac{2}{5} < A < 1 $. Chứng minh $ A > \frac{2}{5} $: - $ \frac{1}{4} = 0.25 $ - $ \frac{1}{9} \approx 0.111 $ - $ \frac{1}{16} = 0.0625 $ - $ \frac{1}{25} = 0.04 $ - $ \frac{1}{36} \approx 0.0278 $ - $ \frac{1}{49} \approx 0.0204 $ - $ \frac{1}{64} = 0.015625 $ - $ \frac{1}{81} \approx 0.0123 $ Tổng các phân số này: $$ A \approx 0.25 + 0.111 + 0.0625 + 0.04 + 0.0278 + 0.0204 + 0.015625 + 0.0123 $$ $$ A \approx 0.54 $$ Vì $ 0.54 > \frac{2}{5} = 0.4 $, nên $ A > \frac{2}{5} $. Chứng minh $ A < 1 $: - $ \frac{1}{4} = 0.25 $ - $ \frac{1}{9} \approx 0.111 $ - $ \frac{1}{16} = 0.0625 $ - $ \frac{1}{25} = 0.04 $ - $ \frac{1}{36} \approx 0.0278 $ - $ \frac{1}{49} \approx 0.0204 $ - $ \frac{1}{64} = 0.015625 $ - $ \frac{1}{81} \approx 0.0123 $ Tổng các phân số này: $$ A \approx 0.25 + 0.111 + 0.0625 + 0.04 + 0.0278 + 0.0204 + 0.015625 + 0.0123 $$ $$ A \approx 0.54 $$ Vì $ 0.54 < 1 $, nên $ A < 1 $. Kết luận Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $ \frac{2}{5} < A < 1 $.