Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC; gọi I, P lần lượt là điểm đối xứng của H qua D và M. a) Chứng minh rằng tứ giác BIPC là hì...

a) Ta có I là điểm đối xứng của H qua D nên HD = DI và HD ⊥ BC. Suy ra DI ⊥ BC. Mà DM là đường trung trực của đoạn thẳng HC nên MC = MH và MC ⊥ HC. Suy ra MH ⊥ BC. Từ đó ta có DI // MH. Ta có P là điểm đối xứng của H qua M nên HM = MP. Suy ra DI = MP. Tứ giác BIPC có DI = MP và DI // MP nên là hình thang cân. b) Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC. Mà P là điểm đối xứng của H qua M nên MC = MH. Suy ra BM = MH. Ta có O là trung điểm của HP nên OH = OP. Mà OP = OC nên OH = OC. Từ đó ta có tứ giác OBCH là hình bình hành. Suy ra OB // CH. Mà CH ⊥ AB nên OB ⊥ AB. Ta có N là trung điểm của AC nên ON là đường trung trực của đoạn thẳng AC. Suy ra ON ⊥ AC. Mà OB ⊥ AB nên ON // OB. Từ đó ta có tứ giác ONBG là hình bình hành. Suy ra BG // ON. Mà ON ⊥ AC nên BG ⊥ AC. Suy ra ba điểm B, G, N thẳng hàng. c) Ta có Q là giao điểm của AH và EF nên Q là trực tâm của tam giác AEF. Suy ra EQ ⊥ AF. Ta có AD ⊥ BC nên AD ⊥ FC. Suy ra AD là đường cao của tam giác AFC. Mà EQ ⊥ AF nên EQ là đường cao của tam giác AFC. Từ đó ta có AD // EQ. Xét tam giác ADB và tam giác QDE có: - $$ (giao của hai đường cao trong tam giác) - $$ (đối đỉnh) Suy ra tam giác ADB đồng dạng với tam giác QDE (cạnh - góc - cạnh). Suy ra $$ hay AD x DQ = DE x DB. Ta có AD ⊥ BC nên AD ⊥ DC. Suy ra AD là đường cao của tam giác ADC. Mà EQ ⊥ AF nên EQ ⊥ AC. Suy ra EQ là đường cao của tam giác ADC. Từ đó ta có DC là đường cao của tam giác ADC. Xét tam giác ADC và tam giác EDQ có: - $$ (giao của hai đường cao trong tam giác) - $$ (đối đỉnh) Suy ra tam giác ADC đồng dạng với tam giác EDQ (cạnh - góc - cạnh). Suy ra $$ hay AD x DQ = DE x DC. Từ đó ta có AD x DQ = DE x DB = DE x DC. Suy ra AD² x DQ = DE x DB x DC. Ta có AD // EQ nên $$ (giao của hai đường cao trong tam giác). Suy ra AD x DQ = DE x DB x DC hay AQ x DQ = HQ x DB x DC. Suy ra AQ x DB x DC = AD² x HQ.