Hgduvxgvchjvcc

Câu 7: Để tính dung tích của bình chứa nước, ta cần tính thể tích của phần nước trong bình khi nước có chiều cao \( x \) dm. Mặt nước là hình vuông có cạnh \( \sqrt{2 + \frac{x^2}{4}} \) dm. Bước 1: Tính diện tích mặt nước. Diện tích mặt nước là: \[ S(x) = \left( \sqrt{2 + \frac{x^2}{4}} \right)^2 = 2 + \frac{x^2}{4} \] Bước 2: Tính thể tích nước trong bình khi nước có chiều cao \( x \) dm. Thể tích nước trong bình là: \[ V(x) = S(x) \cdot x = \left( 2 + \frac{x^2}{4} \right) x = 2x + \frac{x^3}{4} \] Bước 3: Tính dung tích của bình khi nước đầy (tức là khi \( x = 4 \) dm). Thể tích nước khi bình đầy là: \[ V(4) = 2 \cdot 4 + \frac{4^3}{4} = 8 + \frac{64}{4} = 8 + 16 = 24 \text{ dm}^3 \] Vậy dung tích của bình là: \[ \boxed{24 \text{ dm}^3} \] Câu 8: Để tính thể tích của phần vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = 2\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cắt thiết diện và tính thể tích khối tròn xoay. Bước 1: Xác định thiết diện. Thiết diện của phần vật thể (T) khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\) là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(x\sqrt{2}\). Bước 2: Tính diện tích thiết diện. Diện tích \(S(x)\) của tam giác đều có độ dài cạnh \(a\) là: \[ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Ở đây, \(a = x\sqrt{2}\), nên: \[ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (x\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 \] Bước 3: Tính thể tích khối tròn xoay. Thể tích \(V\) của phần vật thể (T) là tích của diện tích thiết diện \(S(x)\) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = 2\): \[ V = \int_{0}^{2} S(x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} x^2 \, dx \] Bước 4: Tính tích phân. \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{3} \] \[ V = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Vậy thể tích của phần vật thể (T) là: \[ V = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Câu 1: a) Ta có: $V=\pi\int_{0}^{\pi }{{(cos\frac{x}{2})}^{2}}dx=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }{(1+cosx)}dx=\frac{\pi }{2}(x+sinx)\left| _{0}^{\pi } \right.=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}$ b) Ta có: $V=\pi \int_{0}^{2}{{{(x}^{2}-2x)}^{2}}dx=\pi \int_{0}^{2}{({{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}})}dx=\pi (\frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{4}}+\frac{4{{x}^{3}}}{3})\left| _{0}^{2} \right.=\frac{16\pi }{15}$ Câu 2: a) Diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \int_{1}^{2} 2^x \, dx \] Tính tích phân: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Do đó: \[ S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \] b) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (2^x)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} 2^{2x} \, dx \] Tính tích phân: \[ \int 2^{2x} \, dx = \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} + C \] Do đó: \[ V = \pi \left[ \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^{4}}{2 \ln 2} - \frac{2^{2}}{2 \ln 2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2 \ln 2} - \frac{4}{2 \ln 2} \right) = \pi \left( \frac{12}{2 \ln 2} \right) = \frac{6\pi}{\ln 2} \] Đáp số: a) Diện tích S của hình phẳng H là $\frac{2}{\ln 2}$. b) Thể tích V của khối tròn xoay là $\frac{6\pi}{\ln 2}$. Câu 3 a) Diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \int_{0}^{2} |x^2 - 2x| \, dx \] Ta thấy rằng \( y = x^2 - 2x \) có dấu âm trên khoảng \( (0, 2) \). Do đó: \[ S = \int_{0}^{2} -(x^2 - 2x) \, dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \frac{4}{3} \] b) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Tính giá trị tại các cận: \[ \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} - 0^4 + \frac{4 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) - 0 = \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad 16 = \frac{240}{15}, \quad \frac{32}{3} = \frac{160}{15} \] \[ \frac{96}{15} - \frac{240}{15} + \frac{160}{15} = \frac{96 - 240 + 160}{15} = \frac{16}{15} \] Vậy thể tích V của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{16}{15} = \frac{16\pi}{15} \] Đáp số: a) Diện tích S của hình phẳng H là \( \frac{4}{3} \) b) Thể tích V của khối tròn xoay là \( \frac{16\pi}{15} \) Câu 4: Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay gồm hai phần: một hình trụ và một hình nón. 1. Tính thể tích của hình trụ: - Bán kính đáy của hình trụ là \( r = 2 \) (do điểm A có tọa độ (0, 2)). - Chiều cao của hình trụ là \( h = 4 \) (do đoạn thẳng OA có độ dài từ 0 đến 4 trên trục Ox). Thể tích của hình trụ được tính bằng công thức: \[ V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V_{\text{trụ}} = \pi \times 2^2 \times 4 = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi \] 2. Tính thể tích của hình nón: - Bán kính đáy của hình nón là \( r = 1 \) (do điểm B có tọa độ (4, 1)). - Chiều cao của hình nón là \( h = 4 \) (do đoạn thẳng BC có độ dài từ 4 đến 4 trên trục Ox). Thể tích của hình nón được tính bằng công thức: \[ V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \pi \times 1^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 1 \times 4 = \frac{4}{3}\pi \] 3. Tính tổng thể tích của khối tròn xoay: Tổng thể tích của khối tròn xoay là tổng của thể tích hình trụ và thể tích hình nón: \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}} \] Thay các giá trị đã tính: \[ V_{\text{tổng}} = 16\pi + \frac{4}{3}\pi = \left(16 + \frac{4}{3}\right)\pi = \frac{48}{3}\pi + \frac{4}{3}\pi = \frac{52}{3}\pi \] Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác OABC quanh trục Ox là: \[ \boxed{\frac{52}{3}\pi} \] Câu 5: Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của nửa đường tròn: Nửa đường tròn tâm \(O\) (0,0) và bán kính \(r = 2\) nằm phía trên trục \(Ox\) có phương trình: \[ y = \sqrt{4 - x^2} \] 2. Xác định giới hạn tích phân: Hình phẳng \(D\) giới hạn bởi nửa đường tròn, trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 1\). Do đó, ta sẽ tích phân từ \(x = -1\) đến \(x = 1\). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) quanh trục \(Ox\) được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \(f(x) = \sqrt{4 - x^2}\), \(a = -1\), và \(b = 1\). 4. Tính tích phân: Ta có: \[ V = \pi \int_{-1}^{1} (\sqrt{4 - x^2})^2 \, dx = \pi \int_{-1}^{1} (4 - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-1}^{1} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \] Đánh giá tại các cận: \[ \left( 4(1) - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( 4(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 + \frac{1}{3} \right) \] \[ = 4 - \frac{1}{3} + 4 - \frac{1}{3} = 8 - \frac{2}{3} = \frac{24}{3} - \frac{2}{3} = \frac{22}{3} \] 5. Nhân với \(\pi\): \[ V = \pi \cdot \frac{22}{3} = \frac{22\pi}{3} \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\) là: \[ \boxed{\frac{22\pi}{3}} \] Câu 6: Để tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y = x^2 \) và \( y = \sqrt{x} \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: - Xét phương trình \( x^2 = \sqrt{x} \). - Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( t^4 = t \). - Điều này dẫn đến \( t(t^3 - 1) = 0 \). - Do đó, \( t = 0 \) hoặc \( t = 1 \). - Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). 2. Xác định khoảng tích phân: - Giao điểm của hai đồ thị là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Do đó, chúng ta sẽ tính diện tích từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). 3. Tính diện tích: - Diện tích D được tính bằng tích phân của hiệu giữa hàm số lớn hơn và hàm số nhỏ hơn trong khoảng từ 0 đến 1. - Hàm số \( y = \sqrt{x} \) lớn hơn hàm số \( y = x^2 \) trong khoảng từ 0 đến 1. - Diện tích D là: \[ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \] 4. Tính tích phân: - Tính tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \] \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \] - Kết hợp lại: \[ A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng D là \( \frac{1}{3} \).