trả lời ngắn

Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức $$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo quy tắc luỹ thừa và phép toán đại số. Bước 1: Tính giá trị của từng phần tử trong biểu thức. - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Bước 2: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức. $$ Bước 3: Thực hiện phép nhân và chia. - $$ - $$ - $$ Bước 4: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức. $$ Bước 5: Thực hiện phép cộng và trừ. - $$ - $$ Bước 6: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức cuối cùng. $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là $$. Câu 2: Để tính giá trị của biểu thức $$ từ điều kiện $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định $$ và $$: $$ $$ Bước 2: Gọi $$. Ta sẽ tìm giá trị của $$. Bước 3: Tính $$: $$ $$ $$ Bước 4: Thay $$ vào: $$ $$ Bước 5: Giải phương trình $$: $$ $$ Bước 6: Kiểm tra điều kiện $$: $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là: $$ Đáp số: $$ Câu 3 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình $$ có nghĩa là $$ (vì đối số của hàm logarit phải dương). 2. Giải bất phương trình logarit: - Ta có $$. Điều này tương đương với: $$ $$ 3. Giải bất phương trình bậc hai: - Ta chuyển tất cả về một vế để giải bất phương trình bậc hai: $$ - Tìm nghiệm của phương trình bậc hai $$: $$ $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $$ là: $$ 4. Xét điều kiện xác định: - Ta đã xác định $$, tức là $$. Điều này tương đương với: $$ 5. Lấy giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện từ bước 3 và bước 4, ta có: $$ - Vậy tập nghiệm cuối cùng là: $$ 6. Tìm nghiệm nguyên: - Các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện trên là $$. 7. Tính tổng các nghiệm nguyên: - Tổng các nghiệm nguyên là: $$ Đáp số: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là $$. Câu 4: Biết rằng sau 3 phút số lượng vi khuẩn A là 625 con, ta có: $$ $$ $$ Ta cần tìm thời gian t để số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con, tức là: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bây giờ, ta cần tìm t sao cho $$. Ta có thể sử dụng phương pháp lô-ga-rít để giải quyết: $$ Dùng máy tính để tính giá trị của $$: $$ Vậy sau khoảng 17 phút, số lượng vi khuẩn A sẽ là 10 triệu con. Đáp số: 17 phút. Câu 5: Để tìm năm mà dân số đạt gấp đôi dân số năm 2023, ta cần giải phương trình $$. Thay vào công thức $$, ta có: $$ Chia cả hai vế cho A (với A khác 0): $$ Lấy ln (logarith tự nhiên) của cả hai vế: $$ $$ Biết rằng $$ và $$, ta thay vào: $$ Giải ra t: $$ Vậy đến khoảng năm 2023 + 61 = 2084 thì dân số sẽ đạt gấp đôi dân số năm 2023. Câu 6: Trong mặt phẳng (SAC), vẽ đường thẳng SH vuông góc với SA tại H. Ta có: - SH vuông góc với SA. - Vì SB vuông góc với (ABC) nên SB vuông góc với AC. - Mặt khác, AC vuông góc với AB nên AC vuông góc với (SAB). Do đó, AC vuông góc với SH. Từ đó suy ra SH vuông góc với (SAB). Vậy góc giữa SC và (SAB) là góc HCS. Ta có: - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A, do đó $$. - AC = a (vì ABC là tam giác đều). - Để tính SC, ta sử dụng Pythagoras trong tam giác SAC: $$. Trước tiên, tính SA: - Tam giác SBA là tam giác vuông tại B, do đó $$. - Vậy $$. Bây giờ, tính SC: - $$. - Vậy $$. Do đó: $$ Vậy góc HCS là góc giữa SC và (SAB), và $$. Câu 7: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (SAC). Ta có góc SMH là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC). Ta có: - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, do đó M là trung điểm của BC nên BM = MC = $$. - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với AC. - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A, do đó ta có thể tính được SC bằng Pythagoras: $$ Biết rằng SB = $$, ta tính SA: $$ $$ $$ $$ $$ Bây giờ, ta tính SC: $$ Tiếp theo, ta tính diện tích tam giác SAC: $$ Diện tích tam giác SCM: $$ Vì M là trung điểm của BC, nên diện tích tam giác SCM bằng một nửa diện tích tam giác SAC: $$ Từ đó, ta có: $$ $$ $$ Bây giờ, ta tính SM: $$ AM là đường cao của tam giác đều ABC: $$ Do đó: $$ Cuối cùng, ta tính góc SMH: $$ Vậy góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC) là: $$