giúp tôi câu 14, 15, 16 Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3),~B(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~4x-y+2z+13=0.$,a) Đường thẳng AB và mặt phẳng (P) cắt nhau tại B.,b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow a=(1;1;9).$,c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30".,d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}4=\frac{y-2}{-1}=\frac{x-3}2.$,Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(1;0;3),~B(0;1;-1),~C(3;-2;5).$,a) Đường thẳng đi qua điểm B và trung điểm I của đoạn thẳng AC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BI}=(2;-2;3).$,b) Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a=(1;-1;2).$,c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là góc A của tam giác ABC.,d) Toạ độ của điểm H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là $H(\frac53;-\frac23;\frac73).$,Câu 16. Cho hai đường thẳng $d:\frac{x-2}1=\frac{y-1}{-1}=\frac{x-2}{-1}$ và $\Delta:\left\{\begin{array}lx=t\y=3\z=-2+t\end{array} ight.(t\in\mathbb R).$,a) Hai đường thẳng d và $\Delta$ vuông góc với nhau.,b) Hai đường thẳng d và $\Delta$ chéo nhau.,c) Góc giữa hai đường thẳng d và $\Delta$ là $90^0.$,d) Mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(1;2;-1).$,Toa độ chân đường cao hạ từ

Question

giúp tôi câu 14, 15, 16 Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;3),~B(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~4x-y+2z+13=0.$,a) Đường thẳng AB và mặt phẳng (P) cắt nhau tại B.,b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow a=(1;1;9).$,c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là 30".,d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}4=\frac{y-2}{-1}=\frac{x-3}2.$,Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(1;0;3),~B(0;1;-1),~C(3;-2;5).$,a) Đường thẳng đi qua điểm B và trung điểm I của đoạn thẳng AC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BI}=(2;-2;3).$,b) Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a=(1;-1;2).$,c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là góc A của tam giác ABC.,d) Toạ độ của điểm H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là $H(\frac53;-\frac23;\frac73).$,Câu 16. Cho hai đường thẳng $d:\frac{x-2}1=\frac{y-1}{-1}=\frac{x-2}{-1}$ và $\Delta:\left\{\begin{array}lx=t\y=3\z=-2+t\end{array}ight.(t\in\mathbb R).$,a) Hai đường thẳng d và $\Delta$ vuông góc với nhau.,b) Hai đường thẳng d và $\Delta$ chéo nhau.,c) Góc giữa hai đường thẳng d và $\Delta$ là $90^0.$,d) Mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(1;2;-1).$,Toa độ chân đường cao hạ từ

Accepted Answer

Câu 14.
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-9)$
Thay tọa độ của B vào phương trình (P) ta được:
$4\times 0-1+2\times (-6)+13=0$ (đúng)
Vậy đường thẳng AB và mặt phẳng (P) cắt nhau tại B.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-9)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{a}=(1;1;9)$
c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(4;-1;2)$
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) thì:
$\sin \alpha =\frac{\left | \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n} \right |}{|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{n}|}=\frac{|-4+1-18|}{\sqrt{1+1+81}\times \sqrt{16+1+4}}=\frac{21}{\sqrt{83}\times \sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{83}}$
$\Rightarrow \alpha \approx 41^{\circ}$
d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}$
Vậy d là đáp án đúng.

Câu 15.
a) Ta có $I(2;-1;4)$ nên $\overrightarrow{BI}=(2;-2;3).$ Vậy dãy này đúng.
b) Ta có $\overrightarrow{BC}=(3;-3;6)=3\times (1;-1;2).$ Vậy dãy này đúng.
c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.$ Vậy dãy này sai.
d) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1;-4),\overrightarrow{AC}=(2;-2;2).$
Ta thấy $\overrightarrow{AH}=\frac53\times \overrightarrow{AB}+\frac23\times \overrightarrow{AC}.$
Mặt khác $\overrightarrow{BH}=\frac23\times \overrightarrow{AB}+\frac23\times \overrightarrow{AC}=\frac23\times (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac23\times \overrightarrow{BC}.$
Vậy $BH//BC.$ Do đó H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Vậy dãy này đúng.

Câu 16.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $d$ và $\Delta$.
2. Kiểm tra điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng.
3. Kiểm tra điều kiện chéo nhau giữa hai đường thẳng.
4. Tính góc giữa hai đường thẳng.
5. Kiểm tra điều kiện mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Đường thẳng $d$ có phương trình:
$$ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{-1} $$
Vectơ chỉ phương của $d$ là:
$$ \overrightarrow{u_d} = (1, -1, -1) $$

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x = t \
y = 3 \
z = -2 + t
\end{array}
\right. $$
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
$$ \overrightarrow{u_\Delta} = (1, 0, 1) $$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0:
$$ \overrightarrow{u_d} \cdot \overrightarrow{u_\Delta} = (1, -1, -1) \cdot (1, 0, 1) = 1 \times 1 + (-1) \times 0 + (-1) \times 1 = 1 - 1 = 0 $$
Vậy hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện chéo nhau

Để kiểm tra hai đường thẳng có chéo nhau hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có giao điểm hay không. Ta thay $x = t$, $y = 3$, $z = -2 + t$ vào phương trình của $d$:
$$ \frac{t-2}{1} = \frac{3-1}{-1} = \frac{-2+t-2}{-1} $$
$$ \frac{t-2}{1} = \frac{2}{-1} = \frac{t-4}{-1} $$
$$ t - 2 = -2 \Rightarrow t = 0 $$
$$ t - 4 = -2 \Rightarrow t = 2 $$

Vì $t = 0$ và $t = 2$ là hai giá trị khác nhau, nên hai đường thẳng không có giao điểm và do đó chúng chéo nhau.

Bước 4: Tính góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức:
$$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u_d} \cdot \overrightarrow{u_\Delta}}{|\overrightarrow{u_d}| |\overrightarrow{u_\Delta}|} $$
$$ |\overrightarrow{u_d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} $$
$$ |\overrightarrow{u_\Delta}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
$$ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = 0 $$
$$ \theta = 90^\circ $$

Bước 5: Kiểm tra điều kiện mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$

Mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả $\overrightarrow{u_d}$ và $\overrightarrow{u_\Delta}$. Ta kiểm tra:
$$ \overrightarrow{n} = (1, 2, -1) $$
$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_d} = (1, 2, -1) \cdot (1, -1, -1) = 1 \times 1 + 2 \times (-1) + (-1) \times (-1) = 1 - 2 + 1 = 0 $$
$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_\Delta} = (1, 2, -1) \cdot (1, 0, 1) = 1 \times 1 + 2 \times 0 + (-1) \times 1 = 1 - 1 = 0 $$

Vậy vectơ pháp tuyến $(1, 2, -1)$ đúng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$.

Kết luận
Câu trả lời đúng là:
a) Hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau.
b) Hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ chéo nhau.
c) Góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ là $90^\circ$.
d) Mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $(1, 2, -1)$.