Giúp mình với! Câu V (2,0 điểm) : Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn điều,kiện: $20abc

Question

Giúp mình với! Câu V (2,0 điểm) : Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn điều,kiện: $20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$

Accepted Answer

Câu V Để tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $20abc < 30(ab + bc + ca) < 21abc$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho $abc$: $$20 < 30 \left( \frac{ab + bc + ca}{abc} \right) < 21$$ Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc: $$20 < 30 \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) < 21$$ Bước 3: Chia cả ba vế cho 30: $$\frac{20}{30} < \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{21}{30}$$ $$\frac{2}{3} < \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{7}{10}$$ Bước 4: Xét các trường hợp khả thi cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau. - Giả sử $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{6}{30} = \frac{31}{30}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{31}{30} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 2$, $b = 3$, $c = 7$: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{21}{42} + \frac{14}{42} + \frac{6}{42} = \frac{41}{42}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{41}{42} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 2$, $b = 5$, $c = 7$: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{10}{70} = \frac{59}{70}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{59}{70} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35}{105} + \frac{21}{105} + \frac{15}{105} = \frac{71}{105}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{71}{105} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 2$, $b = 3$, $c = 11$: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{11} = \frac{33}{66} + \frac{22}{66} + \frac{6}{66} = \frac{61}{66}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{61}{66} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 2$, $b = 5$, $c = 11$: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{11} = \frac{55}{110} + \frac{22}{110} + \frac{10}{110} = \frac{87}{110}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{87}{110} > \frac{7}{10}$. - Giả sử $a = 3$, $b = 5$, $c = 11$: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{11} = \frac{55}{165} + \frac{33}{165} + \frac{15}{165} = \frac{103}{165}$$ Điều này không thỏa mãn vì $\frac{103}{165} > \frac{7}{10}$. Sau khi kiểm tra các trường hợp khả thi, chúng ta thấy rằng không có bộ ba số nguyên tố $a$, $b$, $c$ nào thỏa mãn điều kiện $20abc < 30(ab + bc + ca) < 21abc$. Đáp số: Không có bộ ba số nguyên tố $a$, $b$, $c$ nào thỏa mãn điều kiện trên.