Cho đường tròn (O,R) và dây AB cố định (AB không là đường kính). Gọi M là trung điểm của AB. Qua N, kẻ đường kính CD của đường tròn (O) (C thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác...

câu 6,

N là trung điểm AB, F là điểm K  (ghi sai đề) 
a) 
Ta có: 
$\displaystyle \angle MNC\ =\ 90^{o}$ (do CD là đường kính và N là trung điểm AB)
$\displaystyle \angle MEC\ =\ 90^{o}$ (do DM cắt AB tại E)
Suy ra: 
$\displaystyle \angle MNC\ +\ \angle MEC\ =\ 180^{o}$
Vậy tứ giác MNCE nội tiếp (do tổng hai góc đối bằng 180°)
Vì tứ giác MNCE nội tiếp 
nên bốn điểm M, N, C, E cùng thuộc một đường tròn
b) 
Xét $\displaystyle \Delta KCI$ và $\displaystyle \Delta KDM$ có:
$\displaystyle \angle KCI\ =\ \angle KDM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
$\displaystyle \angle CKI\ =\ \angle DKM$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra: 
$\displaystyle \Delta KCI\ \sim \Delta KDM$ (g-g)
Vậy $\displaystyle \frac{KI}{KD} =\frac{KC}{KM}$
$\displaystyle \rightarrow $ KI.KM = KC.KD
Ta có: 
$\displaystyle \angle MNE\ =\ \angle MCE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME)
$\displaystyle \angle INE\ =\ \angle ICD$ (hai góc đối đỉnh)
Mà $\displaystyle \angle MCE\ =\ \angle ICD$ (cùng chắn cung MD)
Suy ra: $\displaystyle \angle MNE\ =\ \angle INE$
Vậy NE là tia phân giác của góc MNI
c) 
Ta có: OH là đường trung bình của $\displaystyle \Delta CDB$
Suy ra: OH // DB
Theo định lý Ta-lét, ta có : 
$\displaystyle \ \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Ta có: 
$\displaystyle CN²\ =\ CH.CD$ (hệ thức lượng trong đường tròn)
$\displaystyle DN²\ =\ DH.CD$ (hệ thức lượng trong đường tròn)
Suy ra: 
$\displaystyle \frac{CN^{2}}{DN^{2}} \ =\ \frac{CH.CD}{DH.CD} =\ \frac{CH}{DH}$
Mà $\displaystyle \frac{CH}{DH} \ =\ \frac{CH}{HB}$ (do OH là đường trung trực của CB)
Vậy $\displaystyle \frac{CN}{DN} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Từ $\displaystyle \ \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CH}{HB}$ và $\displaystyle \frac{CN}{DN} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Suy ra: $\displaystyle \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CN}{DN}$