Cho đường tròn (O,R) và dây AB cố định (AB không là đường kính). Gọi M là trung điểm của AB. Qua N, kẻ đường kính CD của đường tròn (O) (C thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác A,M khác B), MC cắt AB tại F. Hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại E.
a) Chứng minh bốn điểm M, N,C,E cùng thuộc một đường tròn.
b) Hai đường thẳng DF và CE cắt nhau tại I. Chứng minh KI.KM = KC.KD và NE là tia phân giác của MNI.
c) Chứng minh rằng: KC / CN = KD / DN

Question

Cho đường tròn (O,R) và dây AB cố định (AB không là đường kính). Gọi M là trung điểm của AB. Qua N, kẻ đường kính CD của đường tròn (O) (C thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác A,M khác B), MC cắt AB tại F. Hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại E. 
a) Chứng minh bốn điểm M, N,C,E cùng thuộc một đường tròn. 
b) Hai đường thẳng DF và CE cắt nhau tại I. Chứng minh KI.KM = KC.KD và NE là tia phân giác của MNI. 
c) Chứng minh rằng: KC / CN = KD / DN

Accepted Answer

câu 6,

N là trung điểm AB, F là điểm K (ghi sai đề)
a)
Ta có:
$\displaystyle \angle MNC\ =\ 90^{o}$ (do CD là đường kính và N là trung điểm AB)
$\displaystyle \angle MEC\ =\ 90^{o}$ (do DM cắt AB tại E)
Suy ra:
$\displaystyle \angle MNC\ +\ \angle MEC\ =\ 180^{o}$
Vậy tứ giác MNCE nội tiếp (do tổng hai góc đối bằng 180°)
Vì tứ giác MNCE nội tiếp
nên bốn điểm M, N, C, E cùng thuộc một đường tròn
b)
Xét $\displaystyle \Delta KCI$ và $\displaystyle \Delta KDM$ có:
$\displaystyle \angle KCI\ =\ \angle KDM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
$\displaystyle \angle CKI\ =\ \angle DKM$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra:
$\displaystyle \Delta KCI\ \sim \Delta KDM$ (g-g)
Vậy $\displaystyle \frac{KI}{KD} =\frac{KC}{KM}$
$\displaystyle \rightarrow $ KI.KM = KC.KD
Ta có:
$\displaystyle \angle MNE\ =\ \angle MCE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME)
$\displaystyle \angle INE\ =\ \angle ICD$ (hai góc đối đỉnh)
Mà $\displaystyle \angle MCE\ =\ \angle ICD$ (cùng chắn cung MD)
Suy ra: $\displaystyle \angle MNE\ =\ \angle INE$
Vậy NE là tia phân giác của góc MNI
c)
Ta có: OH là đường trung bình của $\displaystyle \Delta CDB$
Suy ra: OH // DB
Theo định lý Ta-lét, ta có :
$\displaystyle \ \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Ta có:
$\displaystyle CN²\ =\ CH.CD$ (hệ thức lượng trong đường tròn)
$\displaystyle DN²\ =\ DH.CD$ (hệ thức lượng trong đường tròn)
Suy ra:
$\displaystyle \frac{CN^{2}}{DN^{2}} \ =\ \frac{CH.CD}{DH.CD} =\ \frac{CH}{DH}$
Mà $\displaystyle \frac{CH}{DH} \ =\ \frac{CH}{HB}$ (do OH là đường trung trực của CB)
Vậy $\displaystyle \frac{CN}{DN} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Từ $\displaystyle \ \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CH}{HB}$ và $\displaystyle \frac{CN}{DN} \ =\ \frac{CH}{HB}$
Suy ra: $\displaystyle \frac{KC}{KD} \ =\ \frac{CN}{DN}$

Cho đường tròn (O,R) và dây AB cố định (AB không là đường kính). Gọi M là trung điểm của AB. Qua N, kẻ đường kính CD của đường tròn (O) (C thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác...