Giải hộ mình câu này với các bạn Cho phương trình:,$\sin^3x+2\sin x+3=(2\cos^3x+m)\sqrt{2\cos^3x+m-2}+2\cos^3x+\cos^2x+m.$,Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm,$x\in[0;\frac{2\pi}3]?$

Question

Accepted Answer

$\sin ^8 x+\sin ^2 x+2 \sin x=\left(\sqrt{2 \cos ^8 x+m-2} ight)^8+\left(2 \cos ^8 x+m-2 ight)+2 \sqrt{2 \cos ^3 x+m-2}(1)$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t^2+2 t$ có $f^{\prime}(t)=6 t^2+2 t+2>0, \forall t \in \mathbb{R}$, nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Bởi vậy:

$(1) \Leftrightarrow f(\sin x)=f\left(\sqrt{2 \cos ^8 x+m-2} ight) \Leftrightarrow \sin x=\sqrt{2 \cos ^8 x+m-2}$
Với $x \in\left[0 ; \frac{2 \pi}{3} ight)$ thì

$$
\begin{aligned}
& (2) \Leftrightarrow \sin ^2 x=2 \cos ^8 x+m-2 \
& \Leftrightarrow-2 \cos ^8 x-\cos ^2 x+3=m
\end{aligned}
$$

Đặt $t=\cos x$, phương trình (3) trở thành $-2 t^8-t^2-1=m$
Ta thấy, với mỗi $t \in\left(-\frac{1}{2} ; 1 ight]$ thì phương trình $\cos x=t$ cho ta một nghiệm $x \in\left[0 ; \frac{2 \pi}{3} ight)$
Xét hàm số $g(t)=-2 t^8-t^2+3$ với $t \in\left(-\frac{1}{2} ; 1 ight]$.
Ta có $g^{\prime}(t)=-6 t^2-2 t, g^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0 \ t=-\frac{1}{3}\end{array} ight.$.
Ta có bảng biến thiên

Do đó, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $x \in\left[0 ; \frac{2 \pi}{3} ight]$ điều kiện cần và đủ là phương trình $(4)$ có đúng một nghiệm $t \in\left(-\frac{1}{2} ; 1 ight]$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=3 \ m \in\left[0 ; \frac{80}{27} ight]\end{array} \Rightarrow m \in\{3 ; 2 ; 1 ; 0\} ight.$ (Do $m$ nguyên).