bài tập này khó quá

Bài 7. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH.
a) Chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh AH.AD=AE.AC
c) Chứng minh DH=DC.tan⁡ACD^−AE:sin⁡ACD^

Lời giải:

a) Chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác AEHF, ta có:
Góc AEH = 90 độ (BE là đường cao)
Góc AFH = 90 độ (CF là đường cao)
Suy ra, góc AEH + góc AFH = 180 độ
Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
Do đó, 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AH.AD=AE.AC

Xét tam giác AEH và tam giác ADC, ta có:
Góc A chung
Góc AEH = góc ADC = 90 độ
Suy ra, tam giác AEH đồng dạng với tam giác ADC (g.g)
Do đó, AH/AC = AE/AD
Suy ra, AH.AD = AE.AC
c) Chứng minh DH=DC.tan⁡ACD^−AE:sin⁡ACD^

Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có:
tan(ACD) = AD/DC
sin(ACD) = AD/AC
Từ đó, ta có:
AD = DC.tan(ACD)
AC = AD/sin(ACD)
Thay AC vào phương trình AH.AD = AE.AC, ta có:
AH.AD = AE.(AD/sin(ACD))
AH = AE/sin(ACD)
Mặt khác, ta có:
DH = AD - AH
Thay các giá trị AD và AH vào, ta có:
DH = DC.tan(ACD) - AE/sin(ACD)