Giúp mik vs ạ

Bài 7.11. Để phương trình $x^2 - 2x + 5m = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Ta có: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5m = 4 - 20m \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: \[ 4 - 20m \geq 0 \] \[ 20m \leq 4 \] \[ m \leq \frac{1}{5} \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = 5m \] Yêu cầu của đề bài là: \[ x_1^2 x_2^2 = x_1 + x_2 + 23 \] Thay các giá trị theo định lý Vi-et vào: \[ (x_1 x_2)^2 = 2 + 23 \] \[ (5m)^2 = 25 \] \[ 25m^2 = 25 \] \[ m^2 = 1 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = -1 \] Kiểm tra lại điều kiện $m \leq \frac{1}{5}$: - Với $m = 1$: không thỏa mãn điều kiện $m \leq \frac{1}{5}$. - Với $m = -1$: thỏa mãn điều kiện $m \leq \frac{1}{5}$. Vậy giá trị của $m$ là $m = -1$. Bài 7.12. Điều kiện xác định: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(m+1)^2-4m>0$, tức là $m^2-2m+1>0$, hay $(m-1)^2>0$. Điều này luôn đúng với mọi $m \neq 1$. Theo bài ra, ta có: \[ x^2_1x_2 + x^2_2x_1 = -2 \] \[ x_1x_2(x_1 + x_2) = -2 \] Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai $x^2 + (m+1)x + m = 0$, ta có: \[ x_1 + x_2 = -(m+1) \] \[ x_1x_2 = m \] Thay vào biểu thức trên, ta có: \[ m(-(m+1)) = -2 \] \[ -m(m+1) = -2 \] \[ m^2 + m - 2 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ m = 1 \text{ hoặc } m = -2 \] Tuy nhiên, ta đã thấy ở điều kiện xác định rằng $m \neq 1$. Do đó, chỉ còn lại nghiệm: \[ m = -2 \] Vậy giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x^2_1x_2 + x^2_2x_1 = -2$ là $m = -2$. Bài 7.13. Để phương trình $x^2 - 2x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Ta có: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(m + 1) = 4 - 4m - 4 = -4m \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ -4m > 0 \Rightarrow m < 0 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = m + 1 \] Ta cần thỏa mãn điều kiện: \[ x_1 x_2 (2 - x_1)(2 - x_2) = 25 \] Thay $x_1 + x_2 = 2$ vào biểu thức $(2 - x_1)(2 - x_2)$, ta có: \[ (2 - x_1)(2 - x_2) = 4 - 2(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 4 - 2 \cdot 2 + x_1 x_2 = x_1 x_2 \] Do đó: \[ x_1 x_2 \cdot x_1 x_2 = 25 \] \[ (x_1 x_2)^2 = 25 \] \[ x_1 x_2 = 5 \text{ hoặc } x_1 x_2 = -5 \] Vì $x_1 x_2 = m + 1$, ta có: \[ m + 1 = 5 \Rightarrow m = 4 \] \[ m + 1 = -5 \Rightarrow m = -6 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại điều kiện $\Delta > 0$. - Với $m = 4$, ta có $\Delta = -4 \cdot 4 = -16 < 0$, không thỏa mãn. - Với $m = -6$, ta có $\Delta = -4 \cdot (-6) = 24 > 0$, thỏa mãn. Vậy giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện $x_1 x_2 (2 - x_1)(2 - x_2) = 25$ là $m = -6$. Đáp số: $m = -6$. Bài 7.14. Điều kiện xác định: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$. Ta có: \[ x^2_1-3x_1=12-x^2_2+3x_2 \] \[ x^2_1+x^2_2-3(x_1+x_2)-12=0 \] Áp dụng hệ thức Vi-et: \[ x_1+x_2=m-1 \] \[ x_1x_2=-2m-3 \] Thay vào ta có: \[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-3(x_1+x_2)-12=0 \] \[ (m-1)^2-2(-2m-3)-3(m-1)-12=0 \] \[ m^2+m-6=0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ m_1=2 \] \[ m_2=-3 \] Vậy $m=2$ hoặc $m=-3$.