Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = 2|z3| = 2 và 8(z1 + z2)z3 = 3z1z2. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng

Question

Accepted Answer

$ext { +) } 8\left(z_1+z_2 ight) z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow 8\left(z_1+z_2 ight)=3 \frac{z_1 z_2}{z_3} \Leftrightarrow 8\left|z_1+z_2 ight|=3\left|\frac{z_1 z_2}{z_3} ight| \Leftrightarrow\left|z_1+z_2 ight|=\frac{3}{2} .$
Gọi $H$ là trung điểm của $A B$, biểu diễn số phức $\frac{z_1+z_2}{2}$, ta có: $O H=\left|\frac{z_1+z_2}{2} ight|=\frac{3}{4}$

$+\left|z_1+z_2 ight|^2+\left|z_1-z_2 ight|^2=2\left(\left|z_1 ight|^2+\left|z_2 ight|^2 ight) \Leftrightarrow\left|z_1-z_2 ight|=\frac{\sqrt{55}}{2} \Rightarrow A B=\frac{\sqrt{55}}{2} ext {. }$

+) $8\left(z_1+z_2 ight) z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow 8 z_1 z_3+8 z_2 z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow z_1 z_3+z_2 z_3=\frac{3}{8} z_1 z_2$
Đặt $2 a=\frac{3}{8}$, suy ra: $\quad z_1 z_3+z_2 z_3=2 a z_1 z_2 \Leftrightarrow z_1\left(z_3-a z_2 ight)=\left(a z_1-z_3 ight) z_2$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left|z_1 ight|\left|z_3-a z_2 ight|=\left|a z_1-z_3 ight|\left|z_2 ight| \
& \Leftrightarrow\left|z_3-a z_2 ight|^2=\left|a z_1-z_3 ight|^2 \Leftrightarrow z_2 \overline{z_3}+\overline{z_2} z_3=z_1 \overline{z_3}+\overline{z_1} z_3=b \
& A C^2=\left|z_3-z_1 ight|^2=\left|z_3 ight|^2+\left|z_1 ight|^2-\left(z_1 \overline{z_3}+\overline{z_1} z_3 ight)=5-b . \
& B C^2=\left|z_3-z_2 ight|^2=\left|z_3 ight|^2+\left|z_2 ight|^2-\left(z_2 \overline{z_3}+\overline{z_2} z_3 ight)=5-b .
\end{aligned}
$$
Suy ra: $A C^2=B C^2 \Leftrightarrow A C=B C$ hay tam giác $A B C$ cân tại $C$.

\begin{equation}
\begin{aligned}
& C H=O C-O H=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \
& ext { Vậy } S_{ riangle A B C}=\frac{1}{2} A B . C H=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{55}}{2} \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{55}}{16} .
\end{aligned}
\end{equation}