Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = 2|z3| = 2 và 8(z1 + z2)z3 = 3z1z2. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng

Ta có: $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=2 \Rightarrow O A=O B=2 ;\left|z_3\right|=1 \Rightarrow O C=1$.

$\text { +) } 8\left(z_1+z_2\right) z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow 8\left(z_1+z_2\right)=3 \frac{z_1 z_2}{z_3} \Leftrightarrow 8\left|z_1+z_2\right|=3\left|\frac{z_1 z_2}{z_3}\right| \Leftrightarrow\left|z_1+z_2\right|=\frac{3}{2} .$
Gọi $H$ là trung điểm của $A B$, biểu diễn số phức $\frac{z_1+z_2}{2}$, ta có: $O H=\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|=\frac{3}{4}$

$+\left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right) \Leftrightarrow\left|z_1-z_2\right|=\frac{\sqrt{55}}{2} \Rightarrow A B=\frac{\sqrt{55}}{2} \text {. }$

+) $8\left(z_1+z_2\right) z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow 8 z_1 z_3+8 z_2 z_3=3 z_1 z_2 \Leftrightarrow z_1 z_3+z_2 z_3=\frac{3}{8} z_1 z_2$
Đặt $2 a=\frac{3}{8}$, suy ra: $\quad z_1 z_3+z_2 z_3=2 a z_1 z_2 \Leftrightarrow z_1\left(z_3-a z_2\right)=\left(a z_1-z_3\right) z_2$

$
\begin{aligned}
& \Rightarrow\left|z_1\right|\left|z_3-a z_2\right|=\left|a z_1-z_3\right|\left|z_2\right| \\
& \Leftrightarrow\left|z_3-a z_2\right|^2=\left|a z_1-z_3\right|^2 \Leftrightarrow z_2 \overline{z_3}+\overline{z_2} z_3=z_1 \overline{z_3}+\overline{z_1} z_3=b \\
& A C^2=\left|z_3-z_1\right|^2=\left|z_3\right|^2+\left|z_1\right|^2-\left(z_1 \overline{z_3}+\overline{z_1} z_3\right)=5-b . \\
& B C^2=\left|z_3-z_2\right|^2=\left|z_3\right|^2+\left|z_2\right|^2-\left(z_2 \overline{z_3}+\overline{z_2} z_3\right)=5-b .
\end{aligned}
$
Suy ra: $A C^2=B C^2 \Leftrightarrow A C=B C$ hay tam giác $A B C$ cân tại $C$.

\begin{equation}
\begin{aligned}
& C H=O C-O H=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \\
& \text { Vậy } S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B . C H=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{55}}{2} \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{55}}{16} .
\end{aligned}
\end{equation}