Một mảnh vườn hình chữ nhật dài 34m,rộng 23m. Cô Ngọc buộc 2 con dê vào 2 góc A,B. Biết số m dài của dây là số nguyên và tổng chiều dài 2 sợi dây là AB. Hỏi mỗi sợi dây có chiều dài bao nhiêu m để tổng...

Quỳnh Anh Lê

Chiều dài AB = 34m (cạnh dài của hình chữ nhật)

Gọi độ dài 2 sợi dây buộc ở A và B lần lượt là x và y (đơn vị mét)

Ta có:

x + y = 34

→ y = 34 – x

Mỗi con dê được buộc ở một góc, đi trong phạm vi hình tròn bán kính bằng chiều dài sợi dây.

Diện tích cỏ mỗi con dê ăn được là:

S₁ = πx²

S₂ = πy² = π(34 – x)²

Tổng diện tích S = S₁ + S₂ = πx² + π(34 – x)²

= π[x² + (34 – x)²]

= π[x² + 1156 – 68x + x²]

= π[2x² – 68x + 1156]

Đây là hàm bậc hai có a > 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 17, tức là khi x = y = 17 thì tổng diện tích là nhỏ nhất.

→ Để diện tích lớn nhất, thì 2 sợi dây lệch nhau nhiều nhất, tức là x = 0 hoặc x = 34, y = 34 hoặc 0.

Nhưng lúc đó 1 con dê bị đứng yên, không ăn được gì ⇒ chỉ 1 hình tròn.

→ Trường hợp tốt nhất: x và y lệch nhau ít, nhưng một bên hơi dài hơn để diện tích hình tròn lớn hơn.

→ Ta thử các giá trị nguyên gần 17:

• x = 16, y = 18 → S = π(16² + 18²) = π(256 + 324) = π·580
• x = 17, y = 17 → S = π·578
• → x = 16, y = 18 hoặc ngược lại sẽ cho diện tích lớn hơn

Kết luận:

Mỗi sợi dây nên dài 16m và 18m để tổng diện tích cỏ dê ăn được lớn nhất.