Một mảnh vườn hình chữ nhật dài 34m,rộng 23m. Cô Ngọc buộc 2 con dê vào 2 góc A,B. Biết số m dài của dây là số nguyên và tổng chiều dài 2 sợi dây là AB. Hỏi mỗi sợi dây có chiều dài bao nhiêu m để tổng diện tích cỏ mà 2 con dê ăn được là nhiều nhất

Question

Một mảnh vườn hình chữ nhật dài 34m,rộng 23m. Cô Ngọc buộc 2  con dê vào 2 góc A,B. Biết số m dài của dây là số nguyên và tổng chiều dài 2 sợi dây là AB. Hỏi mỗi sợi dây có chiều dài bao nhiêu m để tổng diện tích cỏ mà 2 con dê ăn được là nhiều nhất

Hermione · Accepted Answer

{"userId":5044544,"userName":"Quỳnh Anh Lê"}

Chiều dài AB = 34m (cạnh dài của hình chữ nhật)

Gọi độ dài 2 sợi dây buộc ở A và B lần lượt là x và y (đơn vị mét)

Ta có:

x + y = 34

→ y = 34 – x

Mỗi con dê được buộc ở một góc, đi trong phạm vi hình tròn bán kính bằng chiều dài sợi dây.

Diện tích cỏ mỗi con dê ăn được là:

S₁ = πx²

S₂ = πy² = π(34 – x)²

Tổng diện tích S = S₁ + S₂ = πx² + π(34 – x)²

= π[x² + (34 – x)²]

= π[x² + 1156 – 68x + x²]

= π[2x² – 68x + 1156]

Đây là hàm bậc hai có a > 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 17, tức là khi x = y = 17 thì tổng diện tích là nhỏ nhất.

→ Để diện tích lớn nhất, thì 2 sợi dây lệch nhau nhiều nhất, tức là x = 0 hoặc x = 34, y = 34 hoặc 0.

Nhưng lúc đó 1 con dê bị đứng yên, không ăn được gì ⇒ chỉ 1 hình tròn.

→ Trường hợp tốt nhất: x và y lệch nhau ít, nhưng một bên hơi dài hơn để diện tích hình tròn lớn hơn.

→ Ta thử các giá trị nguyên gần 17:

x = 16, y = 18 → S = π(16² + 18²) = π(256 + 324) = π·580
x = 17, y = 17 → S = π·578
→ x = 16, y = 18 hoặc ngược lại sẽ cho diện tích lớn hơn

Kết luận:

Mỗi sợi dây nên dài 16m và 18m để tổng diện tích cỏ dê ăn được lớn nhất.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số.

Gọi chiều dài của sợi dây buộc con dê ở góc A là x (m), điều kiện: $0 < x < 34$.

Chiều dài của sợi dây buộc con dê ở góc B là $34 - x$ (m).

Diện tích mà con dê ở góc A ăn được là:
$$ S_1 = \pi x^2 $$

Diện tích mà con dê ở góc B ăn được là:
$$ S_2 = \pi (34 - x)^2 $$

Tổng diện tích mà hai con dê ăn được là:
$$ S = S_1 + S_2 = \pi x^2 + \pi (34 - x)^2 $$
$$ S = \pi (x^2 + (34 - x)^2) $$
$$ S = \pi (x^2 + 1156 - 68x + x^2) $$
$$ S = \pi (2x^2 - 68x + 1156) $$

Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức $2x^2 - 68x + 1156$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương:
$$ 2x^2 - 68x + 1156 = 2(x^2 - 34x) + 1156 $$
$$ = 2((x - 17)^2 - 289) + 1156 $$
$$ = 2(x - 17)^2 - 578 + 1156 $$
$$ = 2(x - 17)^2 + 578 $$

Biểu thức $2(x - 17)^2 + 578$ đạt giá trị lớn nhất khi $(x - 17)^2 = 0$, tức là khi $x = 17$.

Vậy, mỗi sợi dây có chiều dài là 17m để tổng diện tích cỏ mà 2 con dê ăn được là nhiều nhất.

Đáp số: Mỗi sợi dây có chiều dài là 17m.

Một mảnh vườn hình chữ nhật dài 34m,rộng 23m. Cô Ngọc buộc 2 con dê vào 2 góc A,B. Biết số m dài của dây là số nguyên và tổng chiều dài 2 sợi dây là AB. Hỏi mỗi sợi dây có chiều dài bao nhiêu m để tổng...