Bài 1: Tính Nhanh:
1/1×5 + 2/5×13 + 3/13×25 +...+ 8/113×145

Question

Accepted Answer

Bài 1:
Để tính nhanh biểu thức $ \frac{1}{1 \times 5} + \frac{2}{5 \times 13} + \frac{3}{13 \times 25} + ... + \frac{8}{113 \times 145} $, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và tìm quy luật.

Nhận thấy rằng mỗi phân số trong dãy có dạng $ \frac{n}{(n^2-1) \times (n^2+1)} $. Ta sẽ phân tích từng phân số thành dạng dễ tính hơn.

Xét phân số đầu tiên:
$$ \frac{1}{1 \times 5} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) $$

Xét phân số thứ hai:
$$ \frac{2}{5 \times 13} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{13} \right) $$

Xét phân số thứ ba:
$$ \frac{3}{13 \times 25} = \frac{1}{16} \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{25} \right) $$

Cứ tiếp tục như vậy, ta nhận thấy rằng mỗi phân số có thể viết dưới dạng:
$$ \frac{n}{(n^2-1) \times (n^2+1)} = \frac{1}{4n} \left( \frac{1}{n^2-1} - \frac{1}{n^2+1} \right) $$

Khi đó, biểu thức ban đầu trở thành:
$$ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{8} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{13} \right) + \frac{1}{16} \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{25} \right) + ... + \frac{1}{32} \left( \frac{1}{113} - \frac{1}{145} \right) $$

Ta thấy rằng các phân số liên tiếp sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$$ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{145} \right) $$

Tính kết quả cuối cùng:
$$ \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{145} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{145 - 1}{145} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{144}{145} \right) = \frac{144}{580} = \frac{36}{145} $$

Vậy kết quả của biểu thức là:
$$ \frac{36}{145} $$

Bài 1: Tính Nhanh: 1/1×5 + 2/5×13 + 3/13×25 +...+ 8/113×145