gcvhvhvjvjvhgcycy

Câu 9. Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra các điểm: 1. Kiểm tra điểm $M(3;1;2)$: - Thay $x = 3$, ta có $3 = 3 - t \Rightarrow t = 0$. - Thay $t = 0$ vào phương trình của $y$, ta có $y = 1 + 3 \cdot 0 = 1$. - Thay $t = 0$ vào phương trình của $z$, ta có $z = 2 \cdot 0 = 0$. Như vậy, điểm $M(3;1;2)$ không thỏa mãn phương trình của $z$. Do đó, điểm $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 2. Kiểm tra điểm $N(3;1;0)$: - Thay $x = 3$, ta có $3 = 3 - t \Rightarrow t = 0$. - Thay $t = 0$ vào phương trình của $y$, ta có $y = 1 + 3 \cdot 0 = 1$. - Thay $t = 0$ vào phương trình của $z$, ta có $z = 2 \cdot 0 = 0$. Như vậy, điểm $N(3;1;0)$ thỏa mãn tất cả các phương trình. Do đó, điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$. 3. Kiểm tra điểm $P(-1;3;2)$: - Thay $x = -1$, ta có $-1 = 3 - t \Rightarrow t = 4$. - Thay $t = 4$ vào phương trình của $y$, ta có $y = 1 + 3 \cdot 4 = 13$. - Thay $t = 4$ vào phương trình của $z$, ta có $z = 2 \cdot 4 = 8$. Như vậy, điểm $P(-1;3;2)$ không thỏa mãn phương trình của $y$ và $z$. Do đó, điểm $P$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. 4. Kiểm tra điểm $Q(-1;-3;0)$: - Thay $x = -1$, ta có $-1 = 3 - t \Rightarrow t = 4$. - Thay $t = 4$ vào phương trình của $y$, ta có $y = 1 + 3 \cdot 4 = 13$. - Thay $t = 4$ vào phương trình của $z$, ta có $z = 2 \cdot 4 = 8$. Như vậy, điểm $Q(-1;-3;0)$ không thỏa mãn phương trình của $y$ và $z$. Do đó, điểm $Q$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là điểm $N(3;1;0)$. Đáp án đúng là: B. $N(3;1;0)$. Câu 10. Để kiểm tra xem đường thẳng nào đi qua điểm \( A(3; -3; 2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình của từng đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. A. \( \frac{x-3}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+2}{2} \) Thay \( x = 3 \), \( y = -3 \), \( z = 2 \): \[ \frac{3-3}{1} = \frac{-3+3}{2} = \frac{2+2}{2} \] \[ \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{4}{2} \] \[ 0 = 0 = 2 \] Phương trình này không thỏa mãn vì \( 0 \neq 2 \). B. \( \frac{x+3}{3} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+2}{-2} \) Thay \( x = 3 \), \( y = -3 \), \( z = 2 \): \[ \frac{3+3}{3} = \frac{-3-3}{1} = \frac{2+2}{-2} \] \[ \frac{6}{3} = \frac{-6}{1} = \frac{4}{-2} \] \[ 2 = -6 = -2 \] Phương trình này không thỏa mãn vì \( 2 \neq -6 \) và \( 2 \neq -2 \). C. \( \frac{x-3}{-1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-2}{2} \) Thay \( x = 3 \), \( y = -3 \), \( z = 2 \): \[ \frac{3-3}{-1} = \frac{-3+3}{-3} = \frac{2-2}{2} \] \[ \frac{0}{-1} = \frac{0}{-3} = \frac{0}{2} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Phương trình này thỏa mãn. D. \( \frac{x+1}{3} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z+5}{2} \) Thay \( x = 3 \), \( y = -3 \), \( z = 2 \): \[ \frac{3+1}{3} = \frac{-3-3}{-3} = \frac{2+5}{2} \] \[ \frac{4}{3} = \frac{-6}{-3} = \frac{7}{2} \] \[ \frac{4}{3} = 2 = \frac{7}{2} \] Phương trình này không thỏa mãn vì \( \frac{4}{3} \neq 2 \) và \( 2 \neq \frac{7}{2} \). Vậy đường thẳng đi qua điểm \( A(3; -3; 2) \) là: Đáp án đúng là: C. \( \frac{x-3}{-1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-2}{2} \) Câu 11. Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đường thẳng $\Delta$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. A. Điểm $M(3;1;-2)$: - Thay vào phương trình $x = 5 - 3t$: $3 = 5 - 3t \Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$ - Thay vào phương trình $y = 1 - t$: $1 = 1 - t \Rightarrow t = 0$ - Thay vào phương trình $z = 2 + 2t$: $-2 = 2 + 2t \Rightarrow 2t = -4 \Rightarrow t = -2$ Các giá trị của $t$ không đồng nhất, do đó điểm $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. B. Điểm $N(5;1;2)$: - Thay vào phương trình $x = 5 - 3t$: $5 = 5 - 3t \Rightarrow 3t = 0 \Rightarrow t = 0$ - Thay vào phương trình $y = 1 - t$: $1 = 1 - t \Rightarrow t = 0$ - Thay vào phương trình $z = 2 + 2t$: $2 = 2 + 2t \Rightarrow 2t = 0 \Rightarrow t = 0$ Các giá trị của $t$ đều là 0, do đó điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$. C. Điểm $P(-1;-1;6)$: - Thay vào phương trình $x = 5 - 3t$: $-1 = 5 - 3t \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2$ - Thay vào phương trình $y = 1 - t$: $-1 = 1 - t \Rightarrow t = 2$ - Thay vào phương trình $z = 2 + 2t$: $6 = 2 + 2t \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2$ Các giá trị của $t$ đều là 2, do đó điểm $P$ thuộc đường thẳng $\Delta$. D. Điểm $Q(2;0;4)$: - Thay vào phương trình $x = 5 - 3t$: $2 = 5 - 3t \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$ - Thay vào phương trình $y = 1 - t$: $0 = 1 - t \Rightarrow t = 1$ - Thay vào phương trình $z = 2 + 2t$: $4 = 2 + 2t \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1$ Các giá trị của $t$ đều là 1, do đó điểm $Q$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Vậy điểm không thuộc đường thẳng $\Delta$ là điểm $M(3;1;-2)$. Đáp án: A. $M(3;1;-2)$. Câu 12. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện về vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng. 1. Vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1 = (2, 1, -2)\). - Đường thẳng \(d_2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_2 = (-2, -1, 2)\). 2. Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không: Ta thấy rằng: \[ \vec{u}_2 = -1 \cdot \vec{u}_1 \] Điều này chứng tỏ hai vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) là đối nhau, tức là hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau. 3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có chung điểm nào không: - Đường thẳng \(d_1\) đi qua điểm \(M(1, 0, -2)\). - Đường thẳng \(d_2\) đi qua điểm \(N(-2, 1, 0)\). Để kiểm tra hai đường thẳng có chung điểm nào, ta giả sử chúng cắt nhau tại điểm \(P(x, y, z)\). Khi đó, ta có: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2} = t \] và \[ \frac{x+2}{-2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{2} = k \] Từ đây, ta có: \[ x = 2t + 1, \quad y = t, \quad z = -2t - 2 \] và \[ x = -2k - 2, \quad y = -k + 1, \quad z = 2k \] Thay \(x, y, z\) từ \(d_1\) vào \(d_2\): \[ 2t + 1 = -2k - 2 \] \[ t = -k + 1 \] \[ -2t - 2 = 2k \] Giải hệ phương trình này: \[ 2t + 1 = -2k - 2 \implies 2t + 2k = -3 \quad (1) \] \[ t = -k + 1 \quad (2) \] \[ -2t - 2 = 2k \implies -2t - 2k = 2 \quad (3) \] Thay \(t = -k + 1\) vào (1): \[ 2(-k + 1) + 2k = -3 \implies -2k + 2 + 2k = -3 \implies 2 = -3 \] Điều này là vô lý, do đó hai đường thẳng không cắt nhau. Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song. Đáp án: C. Song song. Câu 13. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MM_1\), ta cần xác định tọa độ của các điểm \(M_1\) và \(M_2\). - Điểm \(M_1\) là hình chiếu vuông góc của \(M(1;2;3)\) lên trục \(Ox\). Do đó, tọa độ của \(M_1\) là \((1;0;0)\). - Điểm \(M_2\) là hình chiếu vuông góc của \(M(1;2;3)\) lên trục \(Oy\). Do đó, tọa độ của \(M_2\) là \((0;2;0)\). Bây giờ, ta sẽ tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MM_1\): Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MM_1\) là: \[ \overrightarrow{MM_1} = M_1 - M = (1;0;0) - (1;2;3) = (1-1; 0-2; 0-3) = (0; -2; -3) \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có vectơ nào tương ứng với \((0; -2; -3)\). Ta cần kiểm tra lại các vectơ chỉ phương đã cho để xem có vectơ nào phù hợp không. Các vectơ chỉ phương đã cho là: A. \(\overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0)\) B. \(\overrightarrow{u_1} = (0; 2; 0)\) C. \(\overrightarrow{u_2} = (1; 2; 0)\) D. \(\overrightarrow{u_1} = (1; 0; 0)\) Trong các vectơ này, vectơ \(\overrightarrow{u_1} = (0; 2; 0)\) có thể là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(MM_1\) vì nó nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) và song song với trục \(Oy\). Do đó, đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{u_1} = (0; 2; 0)\) Câu 14. Câu hỏi 1: Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}cx=2+4t\\y=1-6t.(t\in\mathbb R)?\\z=9t\end{array}\right.$ Đáp án đúng là: A. $(\frac13;\frac{-1}2;\frac34).$ Lời giải chi tiết: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ cho thấy tọa độ của một véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $(4; -6; 9)$. Ta có thể tìm một véctơ chỉ phương khác bằng cách chia cả ba thành phần của véctơ này cho cùng một số khác 0. Chọn số đó là 12, ta có: $(4; -6; 9) = 12 \times (\frac{1}{3}; \frac{-1}{2}; \frac{3}{4})$ Vậy tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $(\frac{1}{3}; \frac{-1}{2}; \frac{3}{4})$. Câu hỏi 2: Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng $\Delta_1:\left\{\begin{array}lx=1\\y=2-3t(t\in\mathbb R)\\z=3+4t\end{array}\right.$ $\Delta_2:\frac{x-1}3=\frac y{-3}=\frac{z+3}2$ và mặt phẳng $(P):~x+3y-2z+1=0.$ a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1$ là $\overrightarrow a=(1;-3;4)$ b) Đường thẳng $d_1$ vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(1;3;-2)$ c) Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $\Delta_2$ và song song với mặt phẳng (Oxy) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u_2=(3;-3;2)$ d) Đường thẳng $d,$ qua $A(1;-1;2).$ cắt và vuông góc với trục Oz có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u_3=(-1;-1;0)$ Lời giải chi tiết: a) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ cho thấy tọa độ của một véctơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $(0; -3; 4)$. b) Đúng. Mặt phẳng $(P):~x+3y-2z+1=0$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(1;3;-2)$. Đường thẳng $d_1$ vuông góc với (P) sẽ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(1;3;-2)$. c) Sai. Đường thẳng $\Delta_2$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow b=(3;-3;2)$. Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $\Delta_2$ và song song với mặt phẳng (Oxy) thì véctơ chỉ phương của $d_2$ phải vuông góc với $\overrightarrow b$ và có thành phần z bằng 0. Ta có: $\overrightarrow u_2 \cdot \overrightarrow b = 0 \Rightarrow (3;-3;2) \cdot (a;b;0) = 0 \Rightarrow 3a - 3b = 0 \Rightarrow a = b$ Vậy véctơ chỉ phương của $d_2$ có dạng $(a;a;0)$. d) Đúng. Đường thẳng $d$ qua điểm $A(1;-1;2)$ và vuông góc với trục Oz thì véctơ chỉ phương của $d$ phải có thành phần z bằng 0. Ta có: $\overrightarrow u_3 = (-1;-1;0)$ Đáp án đúng là: a, b, d.