Giúp với ạ

Để giải quyết các bài toán về sự biến thiên và cực trị của các hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: Đây là các điểm khả năng có cực trị. 3. Xét dấu của đạo hàm: Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định sẽ cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến. 4. Kết luận về sự biến thiên và cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm, xác định các điểm cực đại, cực tiểu và khoảng đồng biến, nghịch biến. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các bước trên cho từng hàm số: a. Hàm số \( y = -x^3 + 2x^2 - 3 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 2x^2 - 3) = -3x^2 + 4x \] 2. Tìm các điểm mà \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 4x = 0 \implies x(-3x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{4}{3} \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \((-∞, 0)\), chọn \( x = -1 \), ta có \( y'(-1) = 3 + 4 = 7 > 0 \) (đồng biến). - Trên khoảng \((0, \frac{4}{3})\), chọn \( x = 1 \), ta có \( y'(1) = -3 + 4 = 1 > 0 \) (đồng biến). - Trên khoảng \((\frac{4}{3}, ∞)\), chọn \( x = 2 \), ta có \( y'(2) = -12 + 8 = -4 < 0 \) (nghịch biến). 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-∞, 0)\) và \((0, \frac{4}{3})\). - Hàm số nghịch biến trên \((\frac{4}{3}, ∞)\). - Điểm cực đại tại \( x = \frac{4}{3} \), giá trị cực đại là \( y\left(\frac{4}{3}\right) = -\left(\frac{4}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 3 \). - Điểm cực tiểu tại \( x = 0 \), giá trị cực tiểu là \( y(0) = -3 \). b. Hàm số \( y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x - 10) = 6x^2 + 6x - 36 \] 2. Tìm các điểm mà \( y' = 0 \): \[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x - 2)(x + 3) = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -3 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \((-∞, -3)\), chọn \( x = -4 \), ta có \( y'(-4) = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \) (đồng biến). - Trên khoảng \((-3, 2)\), chọn \( x = 0 \), ta có \( y'(0) = -36 < 0 \) (nghịch biến). - Trên khoảng \((2, ∞)\), chọn \( x = 3 \), ta có \( y'(3) = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \) (đồng biến). 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-∞, -3)\) và \((2, ∞)\). - Hàm số nghịch biến trên \((-3, 2)\). - Điểm cực đại tại \( x = -3 \), giá trị cực đại là \( y(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) - 10 \). - Điểm cực tiểu tại \( x = 2 \), giá trị cực tiểu là \( y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) - 10 \). c. Hàm số \( y = -x^4 - 2x^2 + 9 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 - 2x^2 + 9) = -4x^3 - 4x \] 2. Tìm các điểm mà \( y' = 0 \): \[ -4x^3 - 4x = 0 \implies -4x(x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \((-∞, 0)\), chọn \( x = -1 \), ta có \( y'(-1) = 4 + 4 = 8 > 0 \) (đồng biến). - Trên khoảng \((0, ∞)\), chọn \( x = 1 \), ta có \( y'(1) = -4 - 4 = -8 < 0 \) (nghịch biến). 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-∞, 0)\). - Hàm số nghịch biến trên \((0, ∞)\). - Điểm cực đại tại \( x = 0 \), giá trị cực đại là \( y(0) = 9 \). d. Hàm số \( y = \frac{3x+1}{2+x} \) 1. Tìm điều kiện xác định: \[ 2 + x \neq 0 \implies x \neq -2 \] 2. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(3)(2+x) - (3x+1)(1)}{(2+x)^2} = \frac{6 + 3x - 3x - 1}{(2+x)^2} = \frac{5}{(2+x)^2} \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Vì \( y' = \frac{5}{(2+x)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq -2 \), hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định. 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-∞, -2)\) và \((-2, ∞)\). - Không có cực trị vì hàm số không đổi dấu đạo hàm. e. Hàm số \( y = \frac{3x+1}{-x+2} \) 1. Tìm điều kiện xác định: \[ -x + 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \] 2. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(3)(-x+2) - (3x+1)(-1)}{(-x+2)^2} = \frac{-3x + 6 + 3x + 1}{(-x+2)^2} = \frac{7}{(-x+2)^2} \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Vì \( y' = \frac{7}{(-x+2)^2} > 0 \) với mọi \( x \neq 2 \), hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định. 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-∞, 2)\) và \((2, ∞)\). - Không có cực trị vì hàm số không đổi dấu đạo hàm. Trên đây là sự biến thiên và cực trị của các hàm số đã cho.