nhshhshshshshsh

Bài 4. a) Ta có: \[ Q = \left( \frac{x + \sqrt{x} - 1}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \). Thay vào biểu thức \( Q \): \[ Q = \left( \frac{t^2 + t - 1}{t^3 - 1} - \frac{t + 1}{t^2 + t + 1} \right) : \frac{1}{t - 1} \] Ta biết rằng \( t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1) \), do đó: \[ Q = \left( \frac{t^2 + t - 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} - \frac{t + 1}{t^2 + t + 1} \right) : \frac{1}{t - 1} \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ Q = \left( \frac{t^2 + t - 1 - (t + 1)(t - 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \right) : \frac{1}{t - 1} \] \[ = \left( \frac{t^2 + t - 1 - (t^2 - 1)}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \right) : \frac{1}{t - 1} \] \[ = \left( \frac{t^2 + t - 1 - t^2 + 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \right) : \frac{1}{t - 1} \] \[ = \left( \frac{t}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \right) : \frac{1}{t - 1} \] \[ = \frac{t}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} \times (t - 1) \] \[ = \frac{t}{t^2 + t + 1} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( Q \) là: \[ Q = \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \] b) Ta cần chứng minh \( Q < \frac{1}{3} \): \[ \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} < \frac{1}{3} \] Nhân cả hai vế với \( 3(x + \sqrt{x} + 1) \): \[ 3\sqrt{x} < x + \sqrt{x} + 1 \] Rearrange terms: \[ 2\sqrt{x} < x + 1 \] Square both sides: \[ 4x < x^2 + 2x + 1 \] Rearrange to form a quadratic inequality: \[ 0 < x^2 - 2x + 1 \] \[ 0 < (x - 1)^2 \] Vì \( (x - 1)^2 \) luôn dương khi \( x \neq 1 \), nên \( Q < \frac{1}{3} \) đúng. c) Ta cần tìm \( x \) sao cho \( Q = \frac{1}{2\sqrt{x} + 1} \): \[ \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x} + 1} \] Nhân cả hai vế với \( (x + \sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} + 1) \): \[ \sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1) = x + \sqrt{x} + 1 \] Phân tích và giải phương trình: \[ 2x + \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + 1 \] \[ x = 1 \] Do \( x \neq 1 \), nên không có giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện ban đầu.