giải thích chi tiết từng câu rõ ràng dễ hiểu nhất

Câu 13: Để so sánh thời gian chạy của ba bạn Đức, Hòa và Bình, chúng ta cần so sánh các phân số đại diện cho thời gian của họ. a) Bạn Đức chạy mất $\frac{3}{10}$ phút. b) Bạn Hòa chạy mất $\frac{7}{15}$ phút. c) Bạn Bình chạy mất $\frac{7}{30}$ phút. Để so sánh các phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số của chúng. - Mẫu số chung của 10, 15 và 30 là 30. Quy đồng các phân số: - $\frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30}$ - $\frac{7}{15} = \frac{7 \times 2}{15 \times 2} = \frac{14}{30}$ - $\frac{7}{30}$ vẫn giữ nguyên là $\frac{7}{30}$ Bây giờ, chúng ta so sánh các phân số đã được quy đồng: - $\frac{7}{30} < \frac{9}{30} < \frac{14}{30}$ Từ đó, ta có: - $\frac{7}{30} < \frac{3}{10} < \frac{7}{15}$ Như vậy, thời gian chạy của bạn Bình là ngắn nhất, tiếp theo là bạn Đức, và cuối cùng là bạn Hòa. Do đó, bạn Hòa chạy chậm nhất và bạn Bình chạy nhanh nhất. Đáp án: a) Bạn Đức chạy mất $\frac{3}{10}$ phút. b) Bạn Hòa chạy nhanh hơn bạn Đức. c) $\frac{7}{30} < \frac{3}{10} < \frac{7}{15}$ d) Bạn Hòa chạy chậm nhất, bạn Bình chạy nhanh nhất. Câu 14: a) Nếu $MK + KN = MN$ và $KM = KN$ thì K là trung điểm của đoạn thẳng MN. - Điều kiện $MK + KN = MN$ cho thấy điểm K nằm giữa hai điểm M và N. - Điều kiện $KM = KN$ cho thấy khoảng cách từ K đến M bằng khoảng cách từ K đến N. - Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có K là trung điểm của đoạn thẳng MN. b) Nếu $KM = KN$ thì K là trung điểm của đoạn thẳng MN. - Điều kiện $KM = KN$ cho thấy khoảng cách từ K đến M bằng khoảng cách từ K đến N. - Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận K là trung điểm của đoạn thẳng MN vì chưa biết liệu K có nằm giữa M và N hay không. c) Nếu $KM + KN = MN$ nên điểm K nằm giữa M và N. - Điều kiện $KM + KN = MN$ cho thấy tổng khoảng cách từ K đến M và từ K đến N bằng độ dài đoạn thẳng MN. - Do đó, K phải nằm giữa M và N. d) Nếu $MK + KN = MN$ thì K là trung điểm của đoạn thẳng MN. - Điều kiện $MK + KN = MN$ cho thấy điểm K nằm giữa hai điểm M và N. - Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận K là trung điểm của đoạn thẳng MN vì chưa biết liệu KM có bằng KN hay không. Kết luận: - Chỉ có trường hợp a) là đúng vì nó thỏa mãn cả hai điều kiện: K nằm giữa M và N và KM = KN. Đáp án: a) Nếu $MK + KN = MN$ và $KM = KN$ thì K là trung điểm của đoạn thẳng MN. Câu 15: a) Số học sinh nữ khối nào nhiều nhất? ít nhất? - Khối 6: 100 học sinh nữ - Khối 7: 120 học sinh nữ - Khối 8: 110 học sinh nữ - Khối 9: 90 học sinh nữ Số học sinh nữ nhiều nhất ở khối 7 (120 học sinh). Số học sinh nữ ít nhất ở khối 9 (90 học sinh). b) Số học sinh của trường THCS A là bao nhiêu? - Khối 6: 100 + 120 = 220 học sinh - Khối 7: 120 + 130 = 250 học sinh - Khối 8: 110 + 120 = 230 học sinh - Khối 9: 90 + 100 = 190 học sinh Tổng số học sinh của trường THCS A là: 220 + 250 + 230 + 190 = 890 học sinh c) Tính tỉ số phần trăm của HS khối 6 so với số HS toàn trường Số học sinh khối 6 là 220 học sinh. Tỉ số phần trăm của HS khối 6 so với số HS toàn trường là: \[ \frac{220}{890} \times 100 \approx 24.72\% \] Đáp số: a) Khối 7 nhiều nhất, khối 9 ít nhất. b) 890 học sinh. c) 24.72%. Câu 16: a) Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt S là: 8 : 16 = 0,5 b) Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt N là: 1 – 0,5 = 0,5 Đáp số: a) 0,5; b) 0,5 Câu 17. a) Ta có: \[ \frac{-5}{7} \cdot \frac{2}{11} + \frac{-5}{7} \cdot \frac{9}{11} + \frac{5}{7} \] Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta nhóm các hạng tử có chứa $\frac{-5}{7}$ lại: \[ = \frac{-5}{7} \left( \frac{2}{11} + \frac{9}{11} \right) + \frac{5}{7} \] Tính tổng trong ngoặc: \[ = \frac{-5}{7} \cdot \frac{11}{11} + \frac{5}{7} \] \[ = \frac{-5}{7} \cdot 1 + \frac{5}{7} \] \[ = \frac{-5}{7} + \frac{5}{7} \] \[ = 0 \] b) Ta có: \[ \left( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \right) : \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) \] Trước tiên, ta thực hiện phép trừ và phép cộng trong ngoặc: \[ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \] Bây giờ, ta thực hiện phép chia hai phân số: \[ \frac{7}{12} : \frac{7}{6} = \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 6}{12 \cdot 7} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] c) Ta có: \[ 2,5 \cdot (-0,124) + 10,124 \cdot 2,5 \] Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta nhóm các hạng tử có chứa 2,5 lại: \[ = 2,5 \left( -0,124 + 10,124 \right) \] Tính tổng trong ngoặc: \[ = 2,5 \cdot 10 \] \[ = 25 \] Đáp số: a) 0 b) $\frac{1}{2}$ c) 25 Câu 18. a) \(2x - \frac{7}{6} = \frac{7}{10}\) Để tìm \(x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển \(\frac{7}{6}\) sang phía bên phải của phương trình: \[2x = \frac{7}{10} + \frac{7}{6}\] Bước 2: Quy đồng mẫu số của hai phân số: \[\frac{7}{10} = \frac{7 \times 3}{10 \times 3} = \frac{21}{30}\] \[\frac{7}{6} = \frac{7 \times 5}{6 \times 5} = \frac{35}{30}\] Bước 3: Cộng hai phân số: \[2x = \frac{21}{30} + \frac{35}{30} = \frac{56}{30}\] Bước 4: Chia cả hai vế cho 2 để tìm \(x\): \[x = \frac{56}{30} : 2 = \frac{56}{30} \times \frac{1}{2} = \frac{56}{60} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}\] Vậy \(x = \frac{14}{15}\). b) \(\frac{2}{3}x + \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}\) Để tìm \(x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng các hệ số của \(x\): \[\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\] Bước 2: Viết lại phương trình: \[\frac{17}{12}x = \frac{1}{4}\] Bước 3: Nhân cả hai vế với \(\frac{12}{17}\) để tìm \(x\): \[x = \frac{1}{4} \times \frac{12}{17} = \frac{12}{68} = \frac{3}{17}\] Vậy \(x = \frac{3}{17}\). c) \(x : \frac{1}{4} + \frac{-1}{6} = \frac{-1}{8}\) Để tìm \(x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển \(\frac{-1}{6}\) sang phía bên phải của phương trình: \[x : \frac{1}{4} = \frac{-1}{8} + \frac{1}{6}\] Bước 2: Quy đồng mẫu số của hai phân số: \[\frac{-1}{8} = \frac{-1 \times 3}{8 \times 3} = \frac{-3}{24}\] \[\frac{1}{6} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24}\] Bước 3: Cộng hai phân số: \[x : \frac{1}{4} = \frac{-3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{1}{24}\] Bước 4: Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{4}\) để tìm \(x\): \[x = \frac{1}{24} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{96}\] Vậy \(x = \frac{1}{96}\). Câu 19. Số sách trong thư viện sau một năm là: 6000 : 100 x 120 = 7200 (quyển) Số sách trong thư viện sau hai năm là: 7200 : 100 x 120 = 8640 (quyển) Đáp số: 8640 quyển Câu 20. Câu 20: a) Trong ba điểm A, O, B điểm O nằm giữa hai điểm còn lại vì tia OA và tia OB là hai tia đối nhau, do đó điểm O sẽ nằm giữa điểm A và điểm B. b) Tính độ dài đoạn thẳng AB: - Độ dài đoạn thẳng OA là 4 cm. - Độ dài đoạn thẳng OB là 4 cm. - Vì tia OA và tia OB là hai tia đối nhau, nên đoạn thẳng AB sẽ là tổng của đoạn thẳng OA và OB. Do đó, độ dài đoạn thẳng AB là: \[ AB = OA + OB = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \] c) Điểm O có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không? - Để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì đoạn thẳng OA phải bằng đoạn thẳng OB và cả hai đoạn này đều bằng nửa đoạn thẳng AB. - Ta có OA = 4 cm và OB = 4 cm, và đoạn thẳng AB = 8 cm. - Như vậy, OA = OB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{8 \, \text{cm}}{2}$ = 4 cm. Do đó, điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Câu 21: Chứng tỏ $B < 1$, biết: $B = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{2025^2}$. - Ta thấy rằng mỗi phân số trong dãy số trên đều nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{n^2}$, với $n$ là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2. - Ta có thể so sánh các phân số này với các phân số lớn hơn nhưng dễ dàng tính toán hơn: \[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}, \quad \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}, \quad ..., \quad \frac{1}{2025^2} = \frac{1}{2025^2} \] - Ta thấy rằng $\frac{1}{n^2}$ giảm dần khi $n$ tăng lên, và tất cả các phân số này đều nhỏ hơn $\frac{1}{4}$. - Ta có thể nhóm các phân số này thành các cặp nhỏ hơn $\frac{1}{4}$: \[ \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} \right) + ... + \left( \frac{1}{2024^2} + \frac{1}{2025^2} \right) \] - Mỗi cặp này đều nhỏ hơn $\frac{1}{4}$, và số cặp này là 1012 cặp (vì có 2024 số hạng trừ đi 1 số hạng đầu tiên). - Tổng của 1012 cặp này sẽ nhỏ hơn 1012 lần $\frac{1}{4}$: \[ 1012 \times \frac{1}{4} = 253 \] - Do đó, tổng của tất cả các phân số này sẽ nhỏ hơn 253, và chắc chắn nhỏ hơn 1. Vậy $B < 1$.