Giúp mình với!

Câu 11: Để tìm số đo góc \(AB\) trong hình vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các góc liên quan: - Góc \(ACD\) là góc ngoài của tam giác \(ABC\). - Góc \(ACD\) bằng tổng của hai góc trong không kề với nó, tức là \( \angle ABC + \angle BAC \). 2. Áp dụng công thức tính góc ngoài: \[ \angle ACD = \angle ABC + \angle BAC \] Từ hình vẽ, ta thấy: \[ \angle ACD = 106^\circ \] \[ \angle BAC = 39^\circ \] 3. Thay các giá trị vào công thức: \[ 106^\circ = \angle ABC + 39^\circ \] 4. Giải phương trình để tìm \(\angle ABC\): \[ \angle ABC = 106^\circ - 39^\circ \] \[ \angle ABC = 67^\circ \] Vậy số đo của góc \(AB\) là \(67^\circ\). Đáp án đúng là: C. \(67^\circ\). Câu 12: Bước 1: Xác định bán kính của quả bóng. - Đường kính của quả bóng là 12 cm, do đó bán kính (r) sẽ là $\frac{12}{2} = 6$ cm. Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích bề mặt của hình cầu. - Công thức tính diện tích bề mặt của hình cầu là $A = 4\pi r^2$. Bước 3: Thay giá trị bán kính vào công thức. - Diện tích bề mặt của quả bóng là $A = 4\pi \times 6^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi$ cm². Vậy đáp án đúng là: B. $144\pi~cm^2$. Câu 13 a) Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{20} - 2\sqrt{45} + 3\sqrt{80} - \sqrt{320}$ - Ta rút gọn từng căn bậc hai: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \] \[ 2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \times 5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \] \[ 3\sqrt{80} = 3\sqrt{16 \times 5} = 3 \times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \] \[ \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5} \] - Thay vào biểu thức $A$: \[ A = 2\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 8\sqrt{5} \] - Cộng trừ các số hạng: \[ A = (2 - 6 + 12 - 8)\sqrt{5} = 0\sqrt{5} = 0 \] Vậy $A = 0$. b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 2 \\ x + 2y = 5 \end{array} \right. \] - Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2(x + 2y) = 2 \times 5 \implies 2x + 4y = 10 \] - Lấy phương trình mới trừ phương trình thứ nhất: \[ (2x + 4y) - (2x + 3y) = 10 - 2 \implies y = 8 \] - Thay $y = 8$ vào phương trình thứ hai: \[ x + 2(8) = 5 \implies x + 16 = 5 \implies x = 5 - 16 \implies x = -11 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (-11, 8)$. Câu 14: a) Giải phương trình $\frac{5}{x+7} = \frac{-14}{x-5}$ Điều kiện xác định: \( x \neq -7 \) và \( x \neq 5 \) Nhân cả hai vế với \((x+7)(x-5)\): \[ 5(x-5) = -14(x+7) \] Mở ngoặc: \[ 5x - 25 = -14x - 98 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 5x + 14x = -98 + 25 \] \[ 19x = -73 \] Chia cả hai vế cho 19: \[ x = -\frac{73}{19} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = -\frac{73}{19} \neq -7 \) và \( x = -\frac{73}{19} \neq 5 \) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{73}{19} \) b) Tìm vị trí của cá heo rơi sau 1,5 giây kể từ vị trí cao nhất. Biết rằng quỹ đạo nhảy của cá heo là parabol \( y = ax^2 \), với gốc tọa độ là vị trí cao nhất mà cá heo đạt được, cách mặt nước 25 feet. Sau 2 giây, cá heo chạm mặt nước, tức là \( y = 0 \) khi \( x = 2 \). Thay vào phương trình: \[ 0 = a(2)^2 \] \[ 0 = 4a \] \[ a = 0 \] Điều này không đúng vì \( a \) không thể bằng 0. Do đó, ta cần tìm lại giá trị của \( a \) bằng cách sử dụng thông tin ban đầu. Biết rằng tại \( x = 0 \), \( y = 25 \): \[ 25 = a(0)^2 \] \[ 25 = 0 \] Điều này cũng không đúng. Ta cần sử dụng lại thông tin ban đầu để tìm \( a \). Biết rằng sau 2 giây, cá heo chạm mặt nước, tức là \( y = 0 \) khi \( x = 2 \): \[ 0 = a(2)^2 \] \[ 0 = 4a \] \[ a = -\frac{25}{4} \] Vậy phương trình của quỹ đạo nhảy của cá heo là: \[ y = -\frac{25}{4}x^2 \] Tìm vị trí của cá heo sau 1,5 giây: \[ y = -\frac{25}{4}(1,5)^2 \] \[ y = -\frac{25}{4} \times 2,25 \] \[ y = -\frac{25 \times 2,25}{4} \] \[ y = -\frac{56,25}{4} \] \[ y = -14,0625 \] Vậy vị trí của cá heo sau 1,5 giây là \( y = -14,0625 \) feet. Đáp số: \( x = -\frac{73}{19} \) và \( y = -14,0625 \) feet. Câu 15 Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (cm, điều kiện: x > 0). Chiều dài của hình chữ nhật là 3x (cm). Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \[ x \times 3x = 3x^2 \] Nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng thêm 5 cm, ta có chiều rộng mới là \( x + 5 \) và chiều dài mới là \( 3x + 5 \). Diện tích của hình chữ nhật mới là: \[ (x + 5)(3x + 5) = 153 \] Phát triển biểu thức: \[ x \cdot 3x + x \cdot 5 + 5 \cdot 3x + 5 \cdot 5 = 153 \] \[ 3x^2 + 5x + 15x + 25 = 153 \] \[ 3x^2 + 20x + 25 = 153 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 3x^2 + 20x + 25 - 153 = 0 \] \[ 3x^2 + 20x - 128 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = 20 \), \( c = -128 \): \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-128)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 1536}}{6} \] \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{1936}}{6} \] \[ x = \frac{-20 \pm 44}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-20 + 44}{6} = \frac{24}{6} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-20 - 44}{6} = \frac{-64}{6} = -\frac{32}{3} \] Vì chiều rộng phải là số dương, nên ta chọn \( x = 4 \). Chiều rộng của hình chữ nhật là 4 cm, chiều dài của hình chữ nhật là: \[ 3 \times 4 = 12 \text{ cm} \] Đáp số: Chiều rộng: 4 cm, Chiều dài: 12 cm. Câu 16 a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm: | Chiều cao (m) | Số cây | Tần số tương đối | |---------------|--------|------------------| | [8,4;8,6) | 5 | $\frac{5}{100} = 0,05$ | | [8,6;8,8) | 12 | $\frac{12}{100} = 0,12$ | | [8,8;9,0) | 25 | $\frac{25}{100} = 0,25$ | | [9,0;9,2) | 44 | $\frac{44}{100} = 0,44$ | | [9,2;9,4) | 14 | $\frac{14}{100} = 0,14$ | | Tổng | 100 | 1 | b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột: - Trên trục hoành (còn gọi là trục x), ta đánh dấu các khoảng chiều cao của cây keo. - Trên trục tung (còn gọi là trục y), ta đánh dấu các giá trị tần số tương đối. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột: Tần số tương đối | 1.00 | | 0.75 | | 0.50 | | 0.25 | | 0.00 |--------------------------------------------- [8,4;8,6) [8,6;8,8) [8,8;9,0) [9,0;9,2) [9,2;9,4) - Cột biểu diễn cho khoảng [8,4;8,6) có chiều cao là 0,05. - Cột biểu diễn cho khoảng [8,6;8,8) có chiều cao là 0,12. - Cột biểu diễn cho khoảng [8,8;9,0) có chiều cao là 0,25. - Cột biểu diễn cho khoảng [9,0;9,2) có chiều cao là 0,44. - Cột biểu diễn cho khoảng [9,2;9,4) có chiều cao là 0,14. Đáp số: Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột đã được vẽ trên. Câu 17 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính HB cắt cạnh AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E. Chứng minh. a) Chứng minh. $AD.AB=AE.AC$ b) Cho $AB=3~cm,~BC=5~cm.$ Tính DE và diện tích tứ giác DEKI a) Chứng minh $AD.AB=AE.AC$ - Xét tam giác AHB, đường tròn (I) đường kính HB nên $\widehat{HDB}=90^\circ$. - Do đó, $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh chung). - Xét tam giác AHC, đường tròn (K) đường kính HC nên $\widehat{HEC}=90^\circ$. - Do đó, $\widehat{AEC}=\widehat{AHC}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh chung). - Ta có $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (cùng bằng $\widehat{BAC}$). - Vậy $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$. - Xét tam giác ADB và tam giác AEC: - $\widehat{DAB}=\widehat{EAC}$ (cùng bằng $\widehat{BAC}$). - $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ (chứng minh trên). - Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC đồng dạng theo trường hợp góc-góc. - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$. - Nhân cả hai vế với $AE \times AB$, ta được: $AD \times AB = AE \times AC$. b) Cho $AB=3~cm,~BC=5~cm.$ Tính DE và diện tích tứ giác DEKI - Ta có $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4~cm$. - Áp dụng công thức đã chứng minh ở phần a): $AD \times AB = AE \times AC$. - Thay các giá trị vào: $AD \times 3 = AE \times 4$. - Ta có $AD = \frac{4}{3}AE$. - Vì $AD + DB = AB$, ta có $\frac{4}{3}AE + DB = 3$. - Vì $AE + EC = AC$, ta có $AE + EC = 4$. - Ta có $DB = HB - HD$ và $EC = HC - HE$. - Vì $HD = HE$ (đường kính của đường tròn), ta có $DB = EC$. - Thay vào phương trình: $\frac{4}{3}AE + DB = 3$ và $AE + DB = 4$. - Giải hệ phương trình này, ta tìm được $AE = \frac{9}{7}$ và $DB = \frac{19}{7}$. - Vậy $DE = DB + EC = \frac{19}{7} + \frac{19}{7} = \frac{38}{7} \approx 5.43~cm$. - Diện tích tứ giác DEKI là $\frac{1}{2} \times DE \times HK = \frac{1}{2} \times \frac{38}{7} \times 2 = \frac{38}{7} \approx 5.43~cm^2$. 2. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết từ hai điểm A và B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là $34^\circ$ và $38^\circ$. - Gọi chiều cao của ngọn núi là $h$. - Gọi khoảng cách từ điểm A đến chân núi là $x$. - Ta có $\tan 34^\circ = \frac{h}{x}$ và $\tan 38^\circ = \frac{h}{x+500}$. - Từ đó ta có $h = x \tan 34^\circ$ và $h = (x + 500) \tan 38^\circ$. - Thay $h$ vào phương trình: $x \tan 34^\circ = (x + 500) \tan 38^\circ$. - Giải phương trình này, ta tìm được $x \approx 1250$. - Thay $x$ vào phương trình $h = x \tan 34^\circ$, ta tìm được $h \approx 850$. Đáp số: Chiều cao của ngọn núi là 850m. Câu 18: a) Ta có: $y(y+2x-3)=2$ $y=1$ và $y+2x-3=2$ $y=2$ và $y+2x-3=1$ $y=-1$ và $y+2x-3=-2$ $y=-2$ và $y+2x-3=-1$ Từ đây ta tìm được các cặp số $(x,y)$ thỏa mãn là $(1,1);(1,2);(0,-1);(-1,-2)$ b) Ta thấy trong 26 điểm thì luôn tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu. Lấy 6 điểm đó làm đỉnh ta sẽ vẽ được 15 đoạn thẳng. Mà chỉ có 2 màu để tô nên theo nguyên lý Dirichlet thì luôn tồn tại ít nhất 8 đoạn thẳng được tô cùng một màu. Lấy 6 điểm đó là $A_{1};A_{2};A_{3};A_{4};A_{5};A_{6}$. Giả sử có 8 đoạn thẳng được tô cùng một màu. Ta thấy trong 6 điểm trên luôn tồn tại ít nhất 3 điểm mà từ một trong chúng luôn vẽ được 3 đoạn thẳng cùng màu. Giả sử đó là điểm $A_{1}$ và 3 đoạn thẳng đó là $A_{1}A_{2};A_{1}A_{3};A_{1}A_{4}$. Xét tam giác $A_{2}A_{3}A_{4}$: Nếu trong tam giác này có một cạnh được tô cùng màu với 3 đoạn thẳng đã chọn thì tam giác đó là tam giác cần tìm. Nếu cả 3 cạnh của tam giác đều được tô khác màu thì tam giác đó là tam giác cần tìm.