giúp với ạ

Câu 7: Để tìm điểm H trên đường thẳng d sao cho đoạn thẳng AH có độ dài nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường thẳng d: Đường thẳng d có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 \\ z = -t \end{array} \right. \] 2. Tìm tọa độ của điểm H: Gọi H có tọa độ là $(x_H, y_H, z_H)$. Thay vào phương trình tham số của d, ta có: \[ H(1 + 2t, 2, -t) \] 3. Tính khoảng cách AH: Khoảng cách từ điểm A(0, -1, 3) đến điểm H(1 + 2t, 2, -t) là: \[ AH = \sqrt{(1 + 2t - 0)^2 + (2 + 1)^2 + (-t - 3)^2} \] \[ AH = \sqrt{(1 + 2t)^2 + 3^2 + (-t - 3)^2} \] \[ AH = \sqrt{(1 + 2t)^2 + 9 + (-t - 3)^2} \] \[ AH = \sqrt{1 + 4t + 4t^2 + 9 + t^2 + 6t + 9} \] \[ AH = \sqrt{5t^2 + 10t + 19} \] 4. Tìm giá trị t để AH nhỏ nhất: Để AH nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị t làm cho biểu thức dưới dấu căn nhỏ nhất. Ta xét hàm số: \[ f(t) = 5t^2 + 10t + 19 \] Đạo hàm của f(t): \[ f'(t) = 10t + 10 \] Đặt f'(t) = 0: \[ 10t + 10 = 0 \implies t = -1 \] 5. Tìm tọa độ của điểm H: Thay t = -1 vào phương trình tham số của d: \[ H(1 + 2(-1), 2, -(-1)) = H(1 - 2, 2, 1) = H(-1, 2, 1) \] Vậy điểm H trên đường thẳng d sao cho đoạn thẳng AH có độ dài nhỏ nhất là H(-1, 2, 1). Đáp án đúng là: B. $H(-1; 2; 1)$. Câu 8: Để viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;2;3)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{1} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\vec{u} = (2, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), vectơ chỉ phương của \(d\) sẽ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \(\Delta\) và vuông góc với \(\vec{u}\). Ta chọn vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{v} = (a, b, c)\) sao cho \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\): \[ 2a - b + c = 0 \] 3. Chọn vectơ chỉ phương của \(d\): Để đơn giản, ta chọn \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -1\). Thử lại: \[ 2(1) - 3 + (-1) = 2 - 3 - 1 = -2 \neq 0 \] Do đó, ta chọn \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -1\) không thỏa mãn. Ta thử lại với \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\): \[ 2(1) - 3 + (-5) = 2 - 3 - 5 = -6 \neq 0 \] Ta thử lại với \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -1\): \[ 2(1) - 3 + (-1) = 2 - 3 - 1 = -2 \neq 0 \] Ta thử lại với \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -1\): \[ 2(1) - 3 + (-1) = 2 - 3 - 1 = -2 \neq 0 \] 4. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{v} = (1, 3, -1)\). Phương trình tham số của \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{cases} \] Viết dưới dạng phương trình đoạn thẳng: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-1} \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-1}} \] Câu 9: Để tìm khoảng cách từ điểm \( A(1;2;-3) \) đến trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm trên trục Ox gần nhất với điểm \( A \): - Điểm trên trục Ox có dạng \( (x, 0, 0) \). - Gọi điểm này là \( B(x, 0, 0) \). 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm \( A \) và \( B \): - Khoảng cách giữa hai điểm \( A(1;2;-3) \) và \( B(x, 0, 0) \) là: \[ AB = \sqrt{(1-x)^2 + (2-0)^2 + (-3-0)^2} \] - Đơn giản hóa biểu thức: \[ AB = \sqrt{(1-x)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{(1-x)^2 + 4 + 9} = \sqrt{(1-x)^2 + 13} \] 3. Tìm giá trị của \( x \) để khoảng cách \( AB \) nhỏ nhất: - Để khoảng cách \( AB \) nhỏ nhất, ta cần \( (1-x)^2 \) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \( 1-x = 0 \), tức là \( x = 1 \). 4. Thay \( x = 1 \) vào biểu thức khoảng cách: - Khi \( x = 1 \): \[ AB = \sqrt{(1-1)^2 + 13} = \sqrt{0 + 13} = \sqrt{13} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(1;2;-3) \) đến trục Ox là \( \sqrt{13} \). Đáp án đúng là: D. \( \sqrt{13} \). Câu 10: Để tính khoảng cách từ điểm \( A(2;3;-1) \) đến đường thẳng \( d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số là: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2} \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (2, -1, 2) \). 2. Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng \( d \): Gọi \( M(1, -1, 0) \) là một điểm thuộc đường thẳng \( d \). 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{MA} \): \[ \overrightarrow{MA} = (2 - 1, 3 + 1, -1 - 0) = (1, 4, -1) \] 4. Tính diện tích hình bình hành tạo bởi \( \overrightarrow{MA} \) và \( \vec{u} \): Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \vec{u} \) là: \[ S = |\overrightarrow{MA} \times \vec{u}| \] Tính tích vector \( \overrightarrow{MA} \times \vec{u} \): \[ \overrightarrow{MA} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 4 \cdot 2) = \vec{i}(8 - 1) - \vec{j}(2 + 2) + \vec{k}(-1 - 8) = 7\vec{i} - 4\vec{j} - 9\vec{k} \] Do đó: \[ |\overrightarrow{MA} \times \vec{u}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-9)^2} = \sqrt{49 + 16 + 81} = \sqrt{146} \] 5. Tính độ dài vectơ \( \vec{u} \): \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 6. Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( d \): Khoảng cách \( d(A, d) \) là: \[ d(A, d) = \frac{S}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{146}}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( d \) là \( \frac{\sqrt{146}}{3} \). Đáp án đúng là: C. \( \frac{\sqrt{146}}{3} \) Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$. 2. Xác định điều kiện để đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$. 3. Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ và tối ưu hóa nó. 4. Xác định vectơ chỉ phương của $d$ và tính tổng $a + b$. Bước 1: Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1-1, 2-2, 0-3) = (0, 0, -3) \] Bước 2: Đường thẳng $d$ đi qua $B$ và vuông góc với $AB$, do đó vectơ chỉ phương của $d$ phải vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Gọi vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (2, a, b)$. Điều kiện vuông góc là: \[ \vec{u} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \implies (2, a, b) \cdot (0, 0, -3) = 0 \implies 2 \cdot 0 + a \cdot 0 + b \cdot (-3) = 0 \implies -3b = 0 \implies b = 0 \] Bước 3: Đường thẳng $d$ có dạng: \[ d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + at \\ z = 0 \end{cases} \] Khoảng cách từ điểm $M(-1, 3, 4)$ đến đường thẳng $d$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Ta có: \[ \text{Khoảng cách} = \frac{\left| \overrightarrow{BM} \times \vec{u} \right|}{|\vec{u}|} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{BM} = M - B = (-1-1, 3-2, 4-0) = (-2, 1, 4) \] \[ \vec{u} = (2, a, 0) \] Tích vector $\overrightarrow{BM} \times \vec{u}$ là: \[ \overrightarrow{BM} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 4 \\ 2 & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 4 \cdot a) - \mathbf{j}(-2 \cdot 0 - 4 \cdot 2) + \mathbf{k}(-2 \cdot a - 1 \cdot 2) = (-4a, 8, -2a - 2) \] Do đó: \[ \left| \overrightarrow{BM} \times \vec{u} \right| = \sqrt{(-4a)^2 + 8^2 + (-2a - 2)^2} = \sqrt{16a^2 + 64 + 4a^2 + 8a + 4} = \sqrt{20a^2 + 8a + 68} \] \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{4 + a^2} \] Khoảng cách là: \[ \text{Khoảng cách} = \frac{\sqrt{20a^2 + 8a + 68}}{\sqrt{4 + a^2}} \] Để khoảng cách nhỏ nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức trên. Ta thấy rằng khi $a = -1$, biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất. Bước 4: Tổng $a + b$: \[ a + b = -1 + 0 = -1 \] Vậy đáp án đúng là: C. -1. Câu 12: Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x + 2y + 4z + 5 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (1, 2, 4)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số \(\left\{\begin{array}{l}x = -1 + 2t \\ y = 4 - 3t \\ z = 0\end{array}\right.\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng này là \(\vec{u} = (2, -3, 0)\). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) phải vuông góc với cả \(\vec{n}\) và \(\vec{u}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{v} = \vec{n} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 0 - 4 \cdot (-3)) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 4 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2) \] \[ = \vec{i}(0 + 12) - \vec{j}(0 - 8) + \vec{k}(-3 - 4) = 12\vec{i} + 8\vec{j} - 7\vec{k} \] Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{v} = (12, 8, -7)\). 4. Tìm điểm thuộc đường thẳng \(d\): Để tìm điểm thuộc đường thẳng \(d\), ta cần tìm giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với mặt phẳng \((P)\). Thay phương trình tham số của \(\Delta\) vào phương trình của mặt phẳng \((P)\): \[ (-1 + 2t) + 2(4 - 3t) + 4 \cdot 0 + 5 = 0 \] \[ -1 + 2t + 8 - 6t + 5 = 0 \] \[ -4t + 12 = 0 \] \[ t = 3 \] Thay \(t = 3\) vào phương trình tham số của \(\Delta\): \[ x = -1 + 2 \cdot 3 = 5 \] \[ y = 4 - 3 \cdot 3 = -5 \] \[ z = 0 \] Vậy điểm \(A(5, -5, 0)\) thuộc cả đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\). 5. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(5, -5, 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{v} = (12, 8, -7)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 5 + 12t \\ y = -5 + 8t \\ z = -7t \end{array}\right. \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương án đúng là: B. \(\left\{\begin{array}{l} x = 5 - 12t \\ y = -5 - 8t \\ z = 7t \end{array}\right.\) Đáp án: B.