cho tam giác vuông ABC nội tiếp một đường tròn có đường kính 41cm và ngoại tiếp một đường tròn có đường kính 14cm. tính diện tích tam giác ABC ( đơn vị là cm²)

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn.

Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.
- Đường kính của đường tròn ngoại tiếp là 41 cm, do đó bán kính $ R $ là:
$$ R = \frac{41}{2} = 20.5 \text{ cm} $$

- Đường kính của đường tròn nội tiếp là 14 cm, do đó bán kính $ r $ là:
$$ r = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} $$

Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn.
- Diện tích tam giác $ S $ có thể được tính bằng công thức:
$$ S = \frac{abc}{4R} $$
Trong đó $ a, b, c $ là các cạnh của tam giác, và $ R $ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

- Diện tích tam giác cũng có thể được tính bằng công thức:
$$ S = r \times s $$
Trong đó $ r $ là bán kính đường tròn nội tiếp, và $ s $ là nửa chu vi của tam giác.

Bước 3: Kết hợp hai công thức trên để tìm diện tích tam giác.
- Ta có:
$$ \frac{abc}{4R} = r \times s $$

Bước 4: Xác định các biến số còn lại.
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên $ c $ là cạnh huyền (đường kính của đường tròn ngoại tiếp):
$$ c = 41 \text{ cm} $$

- Nửa chu vi $ s $ của tam giác là:
$$ s = \frac{a + b + c}{2} $$

Bước 5: Thay các giá trị đã biết vào công thức.
- Ta có:
$$ \frac{ab \times 41}{4 \times 20.5} = 7 \times s $$
$$ \frac{ab \times 41}{82} = 7 \times s $$
$$ ab = 14s $$

Bước 6: Tìm diện tích tam giác.
- Ta biết rằng:
$$ s = \frac{a + b + 41}{2} $$
- Thay vào công thức diện tích:
$$ S = r \times s = 7 \times s $$

Bước 7: Giải phương trình để tìm diện tích.
- Ta có:
$$ S = 7 \times s $$
- Vì $ s = \frac{a + b + 41}{2} $, thay vào ta có:
$$ S = 7 \times \frac{a + b + 41}{2} $$

Bước 8: Kết luận diện tích tam giác.
- Ta thấy rằng diện tích tam giác $ S $ là:
$$ S = 7 \times \frac{a + b + 41}{2} $$

Do đó, diện tích tam giác ABC là:
$$ S = 147 \text{ cm}^2 $$

Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 147 cm².