jsjsjjsjsjjsjsjsj

Câu 16. Để tính xác suất của một số ngẫu nhiên được chọn từ tập X chia hết cho 2, chúng ta cần làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: - Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ 7 chữ số đã cho là: \[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 5040 \] 2. Tìm số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và chia hết cho 2: - Một số chia hết cho 2 nếu chữ số cuối cùng của nó là số chẵn. Các số chẵn trong tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} là 2, 4, 6. - Ta sẽ tính số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số cuối cùng là 2, 4 hoặc 6. - Nếu chữ số cuối cùng là 2: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] - Nếu chữ số cuối cùng là 4: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] - Nếu chữ số cuối cùng là 6: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] Tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 là: \[ 720 + 720 + 720 = 2160 \] 3. Tính xác suất: - Xác suất để một số ngẫu nhiên được chọn từ tập X chia hết cho 2 là: \[ P = \frac{\text{số các số chia hết cho 2}}{\text{tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau}} = \frac{2160}{5040} = \frac{3}{7} \] - Đổi thành số thập phân và làm tròn đến hai chữ số thập phân: \[ \frac{3}{7} \approx 0.428571 \approx 0.43 \] Đáp số: 0.43 Câu 17. Để tính \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\) trong biểu thức \((\frac{8}{5}x - \frac{1}{2})^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(a_0\): Thay \(x = 0\) vào biểu thức: \[ (\frac{8}{5} \cdot 0 - \frac{1}{2})^5 = (-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32} \] Vậy \(a_0 = -\frac{1}{32}\). 2. Tìm tổng \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\): Thay \(x = 1\) vào biểu thức: \[ (\frac{8}{5} \cdot 1 - \frac{1}{2})^5 = (\frac{8}{5} - \frac{1}{2})^5 = (\frac{16}{10} - \frac{5}{10})^5 = (\frac{11}{10})^5 \] Tính \((\frac{11}{10})^5\): \[ (\frac{11}{10})^5 = \frac{11^5}{10^5} = \frac{161051}{100000} = 1.61051 \] Vậy \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1.61051\). 3. Tính \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\): Ta đã biết \(a_0 = -\frac{1}{32}\), do đó: \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = (a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - a_0 = 1.61051 - (-\frac{1}{32}) \] Chuyển \(-\frac{1}{32}\) sang dạng thập phân: \[ -\frac{1}{32} = -0.03125 \] Vậy: \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 1.61051 + 0.03125 = 1.64176 \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: Làm tròn \(1.64176\) đến hàng phần trăm: \[ 1.64176 \approx 1.64 \] Đáp số: \(1.64\). Câu 18. Để tính diện tích trồng hoa lớn nhất, chúng ta cần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp elip. Ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng và tìm giá trị cực đại của diện tích. Trước tiên, ta xác định phương trình của elip: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó, \(a\) là bán kính trục lớn và \(b\) là bán kính trục bé. Với độ dài trục lớn là 12m và trục bé là 9m, ta có: \[ a = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{và} \quad b = \frac{9}{2} = 4.5 \] Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{4.5^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20.25} = 1 \] Diện tích \(S\) của hình chữ nhật nội tiếp elip là: \[ S = 2x \cdot 2y = 4xy \] Từ phương trình elip, ta có: \[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20.25} = 1 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 20.25 \left(1 - \frac{x^2}{36}\right) \] Thay vào diện tích: \[ S = 4xy = 4x \sqrt{20.25 \left(1 - \frac{x^2}{36}\right)} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \(S\), ta sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Ta đặt: \[ u = \frac{x}{6} \quad \Rightarrow \quad x = 6u \] Khi đó: \[ y^2 = 20.25 \left(1 - u^2\right) \quad \Rightarrow \quad y = 4.5 \sqrt{1 - u^2} \] Diện tích \(S\) trở thành: \[ S = 4 \cdot 6u \cdot 4.5 \sqrt{1 - u^2} = 108u \sqrt{1 - u^2} \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(S = 108u \sqrt{1 - u^2}\). Để làm điều này, ta sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng và tìm giá trị cực đại của hàm số. Ta đặt: \[ f(u) = u \sqrt{1 - u^2} \] Đạo hàm của \(f(u)\): \[ f'(u) = \sqrt{1 - u^2} + u \cdot \frac{-u}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{1 - u^2} - \frac{u^2}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{1 - 2u^2}{\sqrt{1 - u^2}} \] Đặt \(f'(u) = 0\): \[ \frac{1 - 2u^2}{\sqrt{1 - u^2}} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2u^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad u = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Khi \(u = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta có: \[ x = 6u = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] \[ y = 4.5 \sqrt{1 - u^2} = 4.5 \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 4.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4.5}{\sqrt{2}} = \frac{4.5 \sqrt{2}}{2} = 2.25\sqrt{2} \] Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \[ S_{max} = 4xy = 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2.25\sqrt{2} = 4 \cdot 3 \cdot 2.25 \cdot 2 = 4 \cdot 13.5 = 54 \] Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất là: \[ \boxed{54} \] Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các số tự nhiên nhỏ hơn 6256 và đôi một khác nhau. Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp từ số có 1 chữ số đến số có 4 chữ số. 1. Số có 1 chữ số: Các số có thể là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Tổng cộng có 9 số. 2. Số có 2 chữ số: - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó sẽ không còn là số có 2 chữ số). - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng chục. Do đó, mỗi chữ số hàng chục có 9 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị. Tổng cộng có: 9 × 9 = 81 số. 3. Số có 3 chữ số: - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 9 (không thể là 0 vì số đó sẽ không còn là số có 3 chữ số). - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng trăm. - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng trăm và hàng chục. Do đó, mỗi chữ số hàng trăm có 9 lựa chọn cho chữ số hàng chục và mỗi chữ số hàng chục có 8 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị. Tổng cộng có: 9 × 9 × 8 = 648 số. 4. Số có 4 chữ số: - Chữ số hàng nghìn có thể là bất kỳ số nào từ 1 đến 6 (vì số phải nhỏ hơn 6256). - Chữ số hàng trăm có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng nghìn. - Chữ số hàng chục có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng nghìn và hàng trăm. - Chữ số hàng đơn vị có thể là bất kỳ số nào từ 0 đến 9, trừ đi số đã chọn làm chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục. Do đó, mỗi chữ số hàng nghìn có 9 lựa chọn cho chữ số hàng trăm, mỗi chữ số hàng trăm có 8 lựa chọn cho chữ số hàng chục và mỗi chữ số hàng chục có 7 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị. Tổng cộng có: 6 × 9 × 8 × 7 = 3024 số. Tổng cộng các số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 6256 là: 9 + 81 + 648 + 3024 = 3762 Đáp số: 3762 số. Câu 20. Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(2;5) \) và cách đều hai điểm \( P(-1;2) \) và \( Q(5;4) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng PQ: Trung điểm của đoạn thẳng PQ là: \[ N = \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (2, 3) \] 2. Tính vectơ PQ: Vectơ PQ là: \[ \overrightarrow{PQ} = (5 - (-1), 4 - 2) = (6, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng PQ: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng PQ là: \[ \overrightarrow{n} = (2, -6) \] 4. Kiểm tra điểm M có nằm trên đường thẳng đi qua N và vuông góc với PQ: Đường thẳng đi qua N và vuông góc với PQ sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2, -6)\). Ta kiểm tra xem điểm M có nằm trên đường thẳng này hay không bằng cách thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng: \[ 2(x - 2) - 6(y - 3) = 0 \] Thay \(x = 2\) và \(y = 5\): \[ 2(2 - 2) - 6(5 - 3) = 0 - 12 = -12 \neq 0 \] Do đó, M không nằm trên đường thẳng này. Ta cần tìm đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ. 5. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ: Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ là: \[ \overrightarrow{d} = (2, -6) \] 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{d}\): Phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 5 - 6t \end{cases} \] Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M(2;5)\) và cách đều hai điểm \(P(-1;2)\) và \(Q(5;4)\) là: \[ \boxed{\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 5 - 6t \end{cases}} \] Câu 21. Ta có khai triển $(x+2)^n$ theo số mũ giảm dần của $x$ là: \[ (x+2)^n = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} \cdot 2 + \binom{n}{2} x^{n-2} \cdot 2^2 + \ldots + \binom{n}{n} 2^n \] Hệ số của số hạng thứ hai là $\binom{n}{1} \cdot 2 = 2n$. Hệ số của số hạng thứ ba là $\binom{n}{2} \cdot 2^2 = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1)$. Theo đề bài, ta có: \[ 2n(n-1) - 2n = 30 \] \[ 2n(n-1 - 1) = 30 \] \[ 2n(n-2) = 30 \] \[ n(n-2) = 15 \] \[ n^2 - 2n - 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \] \[ n = 5 \quad \text{hoặc} \quad n = -3 \] Vì $n$ là số tự nhiên nên ta chọn $n = 5$. Bây giờ, ta tính số hạng thứ năm trong khai triển $(x+2)^5$. Số hạng thứ năm tương ứng với $\binom{5}{4} x^{5-4} \cdot 2^4$: \[ \binom{5}{4} x \cdot 2^4 = 5x \cdot 16 = 80x \] Vậy số hạng thứ năm là $80x$.